Замена переменной в несобственном интеграле І рода
План
Питання
Критерій Коші збіжності невласного інтегралу І роду
При вивченні властивостей функції однієї змінної було встановлено, що для того, щоб мала границю в точці необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші в цій точці, тобто щоб
для таких, що , , виконується нерівність:
.
Збіжність НІ І роду еквівалентна існуванню границі (1) функції одної змінної . Таким чином:
якщо для виконується нерівність
,
то границя (1) існує. Таким чином, ми довели наступну теорему.
Теорема 1 (Критерій Коші збіжності невласного інтегралу І роду). Для того, щоб збігався невластивий інтеграл I роду необхідно і достатньо щоб
: .
3.Загальна достатня умова збіжності невласного інтегралу І роду
Теорема 2. Нехай функції визначені на і виконуються наступні умови:
1) , ;
2) - збігається,
то збігається і .
Доказ. Іх збіжності інтегралу за критерієм Коші (теорема 1) витікає, що
.
Враховуючи умову 1) теореми, маємо, що функція для , а це означає, що і , тобто модуль в останній нерівності можна зняти.
За властивостями інтеграла Римана маємо:
.
Таким чином, для маємо виконання критерію Коші збіжності.
Приклад. Розглянемо невласний інтеграл , де . Зясуємо, при яких значеннях параметру цей інтеграл є збіжним. Нехай спочатку . В цьому випадку:
.
Отримана границя існує, а поданий інтеграл збігається, якщо , тобто . Якщо , то інтеграл розбігається.
Залишилося розглянути випадок, коли :
.
Таким чином,
1. Визначення невласного інтегралу І роду.
2. Умова Коші в точці для функції однієї змінної.
3. Критерій існування границі функції однієї змінної.
4. Коли невласний інтеграл І роду називається збіжним (розбіжним)? Навести приклади збіжних (розбіжних) невласних інтегралів.
5. Критерій Коші збіжності НІ І роду.
6. Як повязана збіжність (розбіжність) інтегралів ?
7. Загальна достатня умова збіжності невласного інтегралу І роду.
- Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла І рода
- Замена переменной в несобственном интеграле І рода
- Інтегрирование по частям в несобственном интеграле І рода
1. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла І рода
Определение 1 . НИ І рода сходится абсолютно, если сходится .
Если сходится, а расходится, то говорят, что сходится условно.
Утверждение. Из абсолютной сходимости несобственного интеграла вытекает его сходимость.
Доказательство вытекает из общего достаточного условия сходимости (лекция 37), если положить .
Теорема 1 (признак Абеля). Пусть и определены на и выполняются следующие условия:
1) интегрируема на , т.е. является сходящимся;
2) - монотонна и ограничена на ,
тогда сходится.
Теорема 2 (признак Дирихле). Пусть и определены на и выполняются следующие условия:
1) для функция , которая определяется как , является ограниченной на множестве ;
2) монотонная функция на , ,
тогда сходится.
Замечание. Из признака Дирихле вытекает признак Абеля.
Доказательство. Покажем, что выводы, которые делаются из теоремы Абеля, вытекают из условий Дирихле.
1) В теореме Абеля для функции требуется сходимость . Интеграл сходящийся, если существует . Из существования предела функции вытекает ее ограниченность. Таким образом, выполняется первое условие признака Дирихле.
2) В признаке Абеля функция должна быть монотонной и ограниченной. Из этого вытекает существование конечного предела . Учитывая это, рассмотрим :
Таким образом, имея условия признака Абеля, которые накладываются на функции и , мы можем доказать сходимость , пользуясь признаком Дирихле, что и нужно было доказать.
Пример. Исследовать на сходимость .
Покажем выполнение условий Дирихле для подинтегральной функции. Для этого выберем:
, .
Такой выбор является целесообразным, поскольку для выбранных функций выполняются условия Дирихле. Действительно:
,
что говорит о выполнении 1) условия для функции ;
, если к тому же монотонная,
что свидетельствует о выполнении условия 2). Поэтому сходится при .
Теорема 3. Пусть функция определена на , и для нее выполняются следующие условия:
1) непрерывна на ;
2) является областью значений некоторой строго монотонной функции , (а возможно );
3) - непрерывна на (или );
4) ,
тогда сходимость (расходимость) равносильна сходимости (расходимости) (или ) и
.
Доказательство вытекает из рассмотрения обычного интеграла Римана , в котором делаем замену переменной, а потом переходим к пределу, когда .
Пример. Обчислити інтеграл чи довести його розбіжність.
.
Отримана границя не існує, тому поданий інтеграл є розбіжним.