Залишок ряду

План

1. Числовий ряд. Елементи ряду. Зрізана сума ряду. Збіжні і розбіжні числові ряди
2. Критерій Коші збіжності ряду. Необхідна умова збіжності ряду.
3. Залишок ряду
4. Збіжність суми рядів, добутку ряду на скаляр

1. Числовий ряд. Елементи ряду. Зрізана сума ряду. Збіжні і розбіжні числові ряди

Нехай є числова послідовність . Числовим рядом називається нескінченна сума елементів послідовності:

, (1)

де - члени ряду, - n-ий член ряду.

Визначення 1. n-ою зрізаною сумою ряду (1) називається

. (2)

Визначення 2. Якщо існує

, (3)

то ряд (1) називається збіжним, а називається сумой ряду. Якщо границі (3) не існує, то ряд (1) називається розбіжним.

Якщо є послідовність зрізаних сум ряда , то можно відновити і сам ряд. Дійсно:

Таким чином, існує взаємно однозначне співвідношення між елементами послідовностей і .

Приклад. Розглянемо ряд . Треба з’ясувати, чи буде цей ряд збіжним. Для цього побудуємо послідовність зрізаних сум, врахоауючи, що :

.

Тоді

.

Таким чином, поданий ряд є збіжним і його сума:

.

Приклад. Розглянемо нескінченну геометричну прогресію: Сума всіх членів цієї прогресії – це ряд

Існування суми геометричної прогресії залежить від існування суми попереднього ряду, тобто від його збіжності. а зрізана сума ряду має вигляд:

, (10)

Звідки . (20)

Віднімемо почленно рівність (10) від рівності (20):

,

Звідки .

Збіжність ряду буде залежити від збіжності отриманої послідовності :

.

Таким чином, ряд, який є сумою геометричної прогресії, буде збіжним тільки тоді, коли знаменник прогресії , його сума буде дорівнювати

.

У випадку ряд є розбіжним.

2. Критерій Коші збіжності ряду. Необхідна умова збіжності ряду

Числовий ряд є збіжним, коли збігається - послідовність зрізаних сум цього ряду, а послідовність , як будь-яка числова послідовність, є збіжною тоді і тілки тоді, коли вона є фундаментальною. Числова послідовність, як відомо з попередніх лекцій, фундаментальна, якщо для , що для і для виконується нерівність: . Остання нерівність, враховуючи визначення зрізаної суми ряду, буде мати вигляд:

.

Ми довели наступну теорему.

Теорема 1 (критерій Коші збіжності числового ряду). Для того, щоб ряд збігався необхідно і достатньо, щоб для , що для і для виконувалася нерівність: , що еквівалентно виконанню нерівності:

. (30)

Оскільки нерівність (30) виконується для будь-якого натурального , то буде мати місце і нерівність

, (40)

яка витікає з (30) при . А це означає, що має місце

Наслідок з теореми 1 (необхідна умова збіжності ряду). Якщо ряд збігається, то .

Прямування до нуля n-го члена ряда є необхідна, але не достатня умова його збіжності.

Приклад. Дослідити на збіжність числовий ряд , тут . Спочатку перевіримо виконання необхідної умови збіжності:

.

Необхідна умова виконується, тому даний ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Продовжимо дослідження.

. (50)

З (500 витікає, що послідовність необмежена, тому розбіжна, а тому і поданий ряд є розбіжним, хоча для нього виконується необхідна умова збіжності.

Визначення 3. Залишком ряду після n-го члена називається

. (60)

Для кожного члена ряда існує свій залишок, таким чином можна побудувати послідовність залишків ряду .

Твердження 1. Якщо ряд збігається, то збігається і , до того ж

.

4.Збіжність суми рядів, добутку ряду на скаляр

Твердження 2. Відкидання чи додавання скінченного числа членів ряду не впливає на збіжність ряду.

Визначення 4. Сумою (чи різницею) числових рядів і називається числовий ряд, який позначається + (чи - ), і визнається як: (чи ).

Визначення 5. Добутком числового ряда на число називається числовий ряд, який позначається , а визначається як .

Теорема 2. Нехай ряди і є збіжними і

, .

Тоді збіжними будуть сума, різниця цих рядів, і їх суми будуть дорівнювати:

= .

Теорема 3. Нехай ряд є збіжним, а ряд розбіжним, тоді сума, різниця цих рядів буде розбіжним рядом.

Зауваження. Сума, різниця двох розбіжних рядів може бути як розбіжним, так і збіжним рядом.

Приклад. Розглянемо суму двох рядів і . Обидва ряди є розбіжними, оскільки для них не виконується необхідна умова збіжності:

, .

Ряд, який є сумою цих двох рядів, має вид: . Цей ряд також є розбіжним, бо для нього теж не виконується необхідна умова збіжності:

.

Приклад. Розглянемо суму двох рядів і . Обидва ряди є розбіжними, оскільки для них не виконується необхідна умова збіжності:

, .

Ряд, який є сумою цих двох рядів, має вид: . Цей ряд є збіжним, бо для нього послідовність зрізаних сум буде нульовою: для , а тому збіжною:

.

Таким чином, і ряд є збіжним, і його сума дорівнює нулю.

Теорема 4. Нехай ряд є збіжним (розбіжним), тоді ряд , де буде збіжним (розбіжним) рядом.