Алгоритм решения.

Способ вспомогательных сфер

При построении линии пересечения двух поверхностей способом

вспомогательных сфер возможны два случая:

-способ концентрических сфер– сферы проведены из одного, общего для всех сфер центра;

- способ эксцентрических сфер– сферы проведены из разных центров.

Способ концентрических сфер − сфер с постоянным центром.

Этот способ применяют при выполнении следующих условий:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

в)плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций.

1. Обозначается плоскость симметрии.

2. Определяется центр вспомогательных секущих сфер. Он находится в точке пересечения осей данных поверхностей.

3. Определяются радиусы минимальной и максимальной вспомогательных сфер. За Rmin принимается величина большей нормали. Rmax равно расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной от него опорной точки.

4. Проводится сфера минимального радиуса. Она будет касаться одной поверхности по окружности и пересекать вторую тоже по окружности. Точки пересечения этих окружностей будут являться точками искомой линии пересечения.

5. Для определения промежуточных точек линии пересечения из центра проводится семейство секущих сфер, величины радиусов которых изменяются в пределах от Rmin до Rmax (Rmin≤R≤Rmax).

6. Одноименные проекции точек соединяются плавной кривой линией.

7. Определяется видимость.

Задача 3. Построить проекции линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса α с поверхностью прямого кругового цилиндра β.

Решение:

Шаг 1. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке О=i Çi². Плоскость симметрии Δ||П₂, следовательно задача решается способом концентрических сфер (рис.24).

Рис. 24

Шаг 2. За центр сфер принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Отметим проекции точки О(О₁,О₂) пересечения осей заданных поверхностей и принимаем их за проекции общего центра всех секущих сфер.

Определим радиусы максимальной и минимальной сфер. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения линий очерков поверхностей (Rmax=.О₂B₂).

Радиус минимальной сферы определяется из условия касания минимальной сферы одной поверхности (вписывается в поверхность) и пересечения второй. Для определения минимального радиуса Rmin секущей сферы из точки О₂ проводим перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей. Больший из этих перпендикуляров (перпендикуляр О₂N₂ на образующую конусаα принимаем за Rmin (Rmin= О₂N₂).

Для построения промежуточных точек линий пересечения обе поверхности пересекаем концентрическими сферами, радиусы которых находятся в диапазоне Rmin<R<Rmaх. (рис.24).

Шаг 3. Определим опорные точки. Плоскость Δ(Δ₁) ||П₂, пересечет обе поверхности по очерковым относительно П2 образующим, в результате получим точки А и В – ( А₂ и В₂) высшей и низшей точки сечения (рис.24). Наплоскости проекций П₁ – А₁ и В₁ находим с помощью линии связи.

Плоскость Ω(Ω₁) ||П₁ пересечет поверхность цилиндра β по очерковым относительно П₁ образующим, а поверхность конуса αпо окружности радиусом R₁ (рис.25). В пересечении R₁ и очерковых образующих β₁ на плоскости проекций П₁ определим точки С (С₁ и С₁′). Наплоскости проекций П₂ проекции точек С₂ и С₂′. –находим с помощью линии связи. Горизонтальные проекции точки С (С₁ и С₁′) разграничивают горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части.

Рис. 25

Шаг 4. С помощью сферы промежуточного радиуса найдем точки D и D′. Пересечем поверхности сферой радиуса равным R= R₂.

Сфера (R= R₂) пересечет поверхности конуса (α) и цилиндра β по окружностям, которые на плоскость проекций П₂ проецируются в прямые линии 1-2 (1₂ - 2₂) и 3-4 (3₂ - 4₂). В пересечении этих отрезков отметим совпадающие точки D и D′ (D₂ и D′₂). На плоскости проекций П₂ проекции точек D₂ и D′₂ – находим с помощью линии связи. Количество секущих сфер зависит от требуемой точности построения (рис.26).

Рис. 26

Шаг 5. Найденные точки соединяем плавной кривой линией c учетом видимости точек. Определяем видимость поверхностей (рис.27).

Рис.27