Исследование на выпуклость

Исследование на экстремум.

Остаточные члены формулы Тейлора

Свойства функции, дифференцируемой на множестве

Свойства функции, дифференцируемой в точке

Список определений дифференцируемой функции

Функция называется дифференцируемой в точке a, если …

1. … она непрерывна в a и у нее существует многочлен Тейлора первой степени в точке a, т.е. f(x) = c0 + c1(x–a) + o(x–a) при x ® a.

2. … у нее существует дифференциал в точке a, т.е. Df(x) = df + o(Dx) при Dx ® 0. Здесь Dx = x – a, Df(x) = f(x) – f(a), df = cDx.

3. … у нее существует производная в точке a, которая задается как f¢(a) =

При этом с0 = f(a), c1 = f¢(a) и df = f¢(a) dx, где dx = Dx.

4. … ее график имеет касательную в точке a. Касательная – это предельное положение секущей, проходящей через точки (a, f(a)) и (x, f(x)), при x ® a. Уравнение касательной совпадает с многочленом Тейлора c0 + c1(x–a) = f(a) + f¢ (a)·(x–a).

Теорема Ферма.

Пусть функция f имеет в точке a локальный экстремум и дифференцируема в ней. Тогда f¢(a) = 0.

Теорема Ролля.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b), то в некоторой точке c Î (a, b) имеем f¢(c) = 0.

Формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то f(b) – f(a) = f¢(c)·(b – a), где c – некоторая точка из (a, b).

Формула конечных приращений Коши.

Если функции f и g непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), f¢(x) и g¢(x) не обращаются в 0 одновременно и g(b) ¹ g(a), то

= , где c – некоторая точка из (a, b).

Если функция n раз дифференцируема в точке a, то ck = , в частности, c0 = f(a). В этом случае формула Тейлора приобретает вид

f(x) = f(a) + f¢(a)·(x–a) + (x–a)2 + … + (x–a)n + Rn+1(x).

Остаток Rn+1(x) формулы Тейлора можно записать в форме …

1. … Пеано. Rn+1(x) = o((x–a)n) при x ® a.

2. … Лагранжа. Rn+1(x) = (x–a)n+1, где c – точка между a и x.

Дополнительное требование: функция имеет производную (n+1)-го порядка в интервале (a; x) или (x; a), а все производные меньших порядков непрерывны на отрезке [a; x] или [x; a].

3. … Коши. Rn+1(x) = (x–a)(x–с)n, где c – точка между a и x.

Дополнительное требование: функция имеет производную (n+1)-го порядка в интервале (a; x) или (x; a), а все производные меньших порядков непрерывны на отрезке [a; x] или [x; a].

Приложения к исследованию функций

Пусть функция дифференцируема на интервале (a; b), тогда

Точка, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической или подозрительной на экстремум.

Достаточное условие экстремума: Пусть x0 – критическая точка. Если f ‘’(x0) > 0, то в этой точке – минимум, а если f ‘’(x0) < 0, то в этой точке – максимум,

Если f ‘’(x) > 0 на интервале (a; b), то функция выпукла вниз (лежит выше своей касательной).

Если f ‘’(x) < 0 на интервале (a; b), то функция выпукла вверх (лежит ниже своей касательной).

В точке перегиба (в которой функция меняет направление выпуклости) имеем f ‘’(x) = 0.