Теоремы сложения и умножения вероятностей

Для несовместных событий выполняется теорема:

.

Вероятность события , найденная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью и обозначается .

Для произведения событий выполняется теорема:

.

События и называются независимыми, если появление или не появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Для независимых событий выполняется теорема:

.

Задача 3. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка в течение некоторого времени равна , второго - . Какова вероятность бесперебойной работы обоих станков в течение указанного промежутка времени? Какова вероятность бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение времени ?

Решение.

Пусть событие - бесперебойная работа первого станка в течение времени , событие - бесперебойная работа второго станка в течение времени , событие - бесперебойная работа обоих станков в течение времени , событие - бесперебойная работа хотя бы одного из двух станков в течение указанного времени.

Тогда , , , .

Вероятность события можно найти по-другому.

, .

Задача 4. В урне 6 чёрных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно вынимают три шара. Найти вероятность того, что первый шар окажется чёрным, второй – красным и третий – белым.

Решение.

Пусть событие - первый вынутый шар чёрный, событие - второй шар красный, событие - третий шар белый и событие - шары вынуты в последовательности чёрный, красный, белый.

Тогда , .