Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

Степенная функция с четным положительным показателем.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция нечетная, так как .

· Функция возрастает при .

· Функция выпуклая при и вогнутая при (кроме линейной функции).

· Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция четная, так как .

· Функция возрастает при , убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

· Область определения: .
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как приа=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

· Область значений: .

· Функция нечетная, так как .

· Функция убывает при .

· Функция выпуклая при и вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как

при а=-1,-3,-5,….

· Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,….

На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.

· Область определения: .
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как приа=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

· Область значений: .

· Функция четная, так как .

· Функция возрастает при , убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как

при а=-2,-4,-6,….

· Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

Обратите внимание! Если a -–положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.