Формулы приведения

Зависимость между котангенсом и синусом

Зависимость между тангенсом и косинусом

Зависимость между тангенсом и котангенсом

Сумма квадратов синуса и косинуса равна единице.

Основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество описывает соотношение между синусом и косинусом одного и того же угла.

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, один катет которого -–это синус, а другой -–косинус угла альфа, при этом гипотенуза -–это 1. Применим к этому треугольнику теорему Пифагора -–и мы получим основное тригонометрическое тождество.

Из него следует, что:

Зависимость между тангенсом и котангенсом заключается в том, что их произведение равняется единице.

Для того, чтобы ее вывести, оттолкнемся от определений тангенса и котангенса:

Перемножим их и получим, что их произведение равняется единице:

Из этого соотношения следует, что мы можем выразить тангенс через котангенс и котангенс через тангенс:

При этом соотношения выше имеют смысл, когда ни синус, ни косинус (следовательно, ни тангенс, ни котангенс) не равны нулю. То есть выполняется условие, что:

Зависимость между тангенсом и косинусом выводится следующим образом. Возьмем основное тригонометрическое тождество:

Разделим обе части равенства на квадрат косинуса:

Упростим левую часть уравнения и получим:

Операцию деления мы можем выполнить только если косинус не равняется нулю, т.е. при условии:

Зависимость между котангенсом и синусом выводится следующим образом. Возьмем основное тригонометрическое тождество:

Разделим обе части равенства на квадрат синуса:

Упростим левую часть уравнения и получим:

Операцию деления мы можем выполнить только если синус не равняется нулю, т.е. при условии:

Вообще формулы приведения, включая формулы для тангенсов и катангенсов, можно обобщить в следующей таблице:

§2. Практическая часть

Примеры

№ 26755. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу си­ну­садвой­но­го угла :

.

Ответ: 6.

№ 26756. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -24.

№ 26757. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Сход­ствен­ные функ­ции до­пол­ни­тель­ных углов равны, по­это­му

.

Ответ: 5.

№ 26758. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 36.

№ 26759. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 2.

№ 26760. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: -16.

№ 26761. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -6.

№ 26762. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 6.

№ 26763. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 18.

№ 26764. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -12.

№ 26765. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

= .

Ответ: -14.

№ 26766. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

= .

Ответ: -4.

№ 26767. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -5.

№ 26769. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся пе­ри­о­дич­но­стью си­ну­са

.

Ответ: 14.

№ 26770. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: -5.

№ 26772. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 12.

№ 26773. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 6.

№ 26774. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем:

.

Ответ: 12.

№ 26781. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

В силу пе­ри­о­дич­но­сти ко­си­ну­са . Далее ис­поль­зу­ем фор­му­лы при­ве­де­ния:

.

Ответ: 2.

№ 26782. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1.

№ 64693.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

В силу не­чет­но­сти си­ну­са . Далее ис­поль­зу­ем фор­му­лы при­ве­де­ния:

= .

Ответ: 2.

№ 26775. Най­ди­те , если и .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку угол альфа лежит в четвёртой чет­вер­ти, его тан­генс от­ри­ца­те­лен. По­это­му

.

Ответ: -3.

№ 26776. Най­ди­те , если и

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку , его тан­генс по­ло­жи­те­лен. По­это­му

.

Тогда

.

Ответ: 5.

№ 26777. Най­ди­те , если и .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку угол лежит в чет­вер­той чет­вер­ти, его ко­си­нус по­ло­жи­те­лен. По­это­му

.

Ответ: 1.

№ 26778. Най­ди­те , если и .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку , опре­де­ля­ем, что . Тогда

.

Ответ: -1.

ДОМАШНЯЯ РАБОТА № 8

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

2.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. Най­ди­те , если и .

11. Най­ди­те , если и .

ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4

1.Най­ди­те , если и .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку угол альфа лежит в четвёртой чет­вер­ти, его тан­генс от­ри­ца­те­лен. По­это­му

.

Ответ: -3.

2.Най­ди­те , если и .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку угол лежит в чет­вер­той чет­вер­ти, его ко­си­нус по­ло­жи­те­лен. По­это­му

.

Ответ: 1.

3.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −30.

4.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

По фор­му­ле си­ну­садвой­но­го угла . Тогда

.

Ответ: 24.

5.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

= .

Ответ: -14.

6.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

= .

Ответ: -34.

7.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 132.

8.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 1.

Глава VI. Степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая функции

аудиторные часы -–2 часа

§1. Краткие теоретические сведения

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее -–при четных положительных, далее -–при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.