Площадь поверхности

Объем шара

Площадь боковой поверхности цилиндра

S=2Пrh

Площадь полной поверхности цилиндра S_пол = S_бок + 2S_осн

Конус

Конус– тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

· т. S – вершина конуса

· круг(О,ОА) – основание конуса

· SA=SB – образующие конуса

· Отрезок SO – высота конуса

· Прямая SO – ось конуса

· осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник

· сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину – равнобедренный треугольник

· сечение конуса плоскостью, перпендикулярно оси симметрии – круг

· вписанная пирамида – пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, вершина – вершина конуса, боковые ребра пирамиды – образующие конуса

· Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

· Описанная пирамида – пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, вершина – вершина конуса, боковые грани – касательные плоскости конуса.

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

V=1/3 SH

Площадь боковой поверхности S= πRL, где R- радиус основания, L- длина образующей

Площадь полной поверхности S_пол = S_бок + S_осн

Шар и Сфера

Шар– тело состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки.

Сфера – граница шара.

Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

О – центр шара

ОА=ОВ – радиус шара

АВ – диаметр

· Всякое сечение шара плоскостью – круг, центром которого является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

· плоскость, проходящая через центр шара – диаметральная плоскость. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

· плоскость проходящая через точку А поверхности шара и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью, точка А – плоскостью касания.

· многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.

· многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара.

§2. Практическая часть

Тела вращения

Примеры

1. Вы­со­та ко­ну­са равна 8, а диа­метр ос­но­ва­ния — 30. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са

Ре­ше­ние.
Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

Ответ: 17.

2. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 21 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен 7. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та ци­лин­дра равна

Ответ: 3.

3.Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а длина об­ра­зу­ю­щей — 5. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са

Ре­ше­ние.
Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, его вы­со­та и об­ра­зу­ю­щая свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем . В нашем слу­чае , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но, диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­саравен 6.

Ответ: 6.

4.Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а диа­метр ос­но­ва­ния — 1. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра на­хо­дит­ся по фор­му­ле: , зна­чит, .

Ответ: 2

5. Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­саи его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са Ра­ди­ус сферы равен . Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са

Ре­ше­ние.
Вы­со­та ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию и равна ра­ди­у­су сферы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Ра­ди­ус сферы равен по­это­му об­ра­зу­ю­щая равна

Ответ: 56

6. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 14 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен 2. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.
Вы­со­та ци­лин­дра равна

Ответ: 7.

7. Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 111. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та ци­лин­дра равна диа­мет­ру шара, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра:

По­сколь­ку пло­щадь по­верх­но­сти шара да­ет­ся фор­му­лой имеем:

Ответ:166,5.

8. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000 воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в .

Ре­ше­ние.
По за­ко­ну Ар­хи­ме­да объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 9/12 ис­ход­но­го объ­е­ма:

.

Ответ: 1500.

Домашняя работа № 7

1.Вы­со­та ко­ну­саравна 4, а диа­метр ос­но­ва­ния — 6. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са

2. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а вы­со­та — 1. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния.

3. Вы­со­та ко­ну­са равна 5, а диа­метр ос­но­ва­ния – 24. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са

4.Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 15 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен 5. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

5.Около ко­ну­саопи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­саи его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна . Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

Зачетная работа № 3

1. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 9 , а диа­метр ос­но­ва­ния равен Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

1. Вы­со­та ко­ну­са равна 15, а диа­метр ос­но­ва­ния – 16. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са

1. Найдите расстояние между вершинами A и D₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD=4, AA₁=3.

4. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

5.Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 3. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

6.Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Най­ди­те угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­саи плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7.Объем шара равен 288 . Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на

ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

1. Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са если его вы­со­ту умень­шить в 3 раза?

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

,

где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – вы­со­та ко­ну­са При умень­ше­нии вы­со­ты в 3 раза объем ко­ну­са также умень­шит­ся в 3 раза.

Ответ: 3.

2. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем шара, если его ра­ди­ус уве­ли­чить в три раза?

Ре­ше­ние.

Объем шара ра­ди­у­са равен

.

При уве­ли­че­нии ра­ди­у­са втрое, объем шара уве­ли­чит­ся в 27 раз.

Ответ: 27.

3. Вы­со­та ко­ну­са равна 8, а диа­метр ос­но­ва­ния — 30. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са
Ре­ше­ние.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна

Ответ: 17.

4. Вы­со­та ко­ну­са равна 72, а диа­метр ос­но­ва­ния — 108. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са
Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

.

Ответ: 90.

5. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , а диа­метр ос­но­ва­ния — 5. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра на­хо­дит­ся по фор­му­ле: , зна­чит,

.

Ответ: 4.

6. Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3, вы­со­та равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.
Ре­ше­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , где C – длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния. По­это­му

Ответ: 6.

7. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти шара, если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 45 раз?
Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара вы­ра­жа­ет­ся через его ра­ди­ус фор­му­лой , по­это­му при уве­ли­че­нии ра­ди­у­са в 45 раз пло­щадь уве­ли­чит­ся в 45² = 2025 раз.

Ответ: 2025.

Глава V. Основы тригонометрии

аудиторные часы -–8 часов

самостоятельная работа – 4 часа

§1. Краткие теоретические сведения

Синусом угла 𝛼 (альфа) называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол 𝛼(альфа).
Косинусом угла 𝛼(альфа) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол 𝛼(альфа).

Тангенс угла – это отношение синуса этого угла к косинусу этого же угла.

Котангенс угла – это отношение косинуса этого угла к синусу этого же угла.

Радиан (от лат. radius — луч, радиус) — основная единица измерения плоских углов в математике.
Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности:

Таким образом, величина полного угла равна 2π (два Пи) радиан, так как длина окружности -–это 2π (два Пи) радиусов.
Радиан -–это безразмерная величина, поскольку отражает соотношение длины дуги окружности к длине радиуса.
Радианной мере угла можно поставить в соответствие меру угла в градусах. Эту зависимость можно выразить следующими формулами:

Конкретные наиболее часто встречающиеся величины углов выражаются следующим образом в радианной и градусной мере:

Значения тангенса и котангенса (а также синуса и косинуса, на основе которых их можно рассчитать) для наиболее часто используемых углов приведены в таблице:

Знаки тангенса и котангенса можно определить, зная знаки синуса и косинуса в различных четвертях на единичной окружности: