Решение
по двум катетам
- по определению, - общий катет, поэтому
отсюда:
Глава III. Многогранники.
аудиторные часы -–7 часов
самостоятельная работа – э часа
§1. Краткие теоретические сведения
Призма
1. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.
2. Отрезки A1B1, A2B2, … , AnBn называются боковыми ребрами призмы
3. Боковые ребра призмы равны и параллельны
Рис. 1 Рис. 2
4. Многоугольники A1A2…An и B1B2…Bn называются основаниями призмы (рис.1), а параллелограммы – боковыми гранями призмы (рис. 2).
5. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы
Прямая призма Наклонная призма
• Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой,
• в противном случае – наклонной
• Высота прямой призмы равна её боковому ребру
• Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани
Правильная призма
• Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники
• У правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники
Параллелепипед
• Если основания призмы -–параллелограммы, то призма является параллелепипедом
• В параллелепипеде все грани являются параллелограммами
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам
Диагональные сечения параллелепипеда
Площадь поверхности призмы
• Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней
• Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей её боковых граней
Объем призмы
Объем призмы ранен V = Sоснов • H. где Sоснов — площадь основания призмы. H — ее высота.
Исходим из известного факта: объем параллелепипеда, равен Vпар = Sоснов • H
(Sоснов -–площадь основания, H — высота).
Пирамида
Пирамида - многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.
Элементы пирамиды
•Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
•Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
•Боковые ребра — общие стороны боковых граней;
•Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
•Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
•Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
•Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Свойства
Если все боковые ребра равны, то:
•около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
•боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
•также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
•в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
•высоты боковых граней равны;
•площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Формулы