Взаимное расположение прямых в пространстве.
Некоторые следствия из аксиом
Аксиомы стереометрии
А к с и о м а 1.Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А к с и о м а 2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.
Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.
А к с и о м а 3.Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
А к с и о м а 4.В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.
С л е д с т в и е 1.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
С л е д с т в и е 2.Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
С л е д с т в и е 3.Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.
Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.
Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).
Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.
В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые, параллельность прямых.
Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.
Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).
Способы задания прямой в пространстве.
Существует несколько способов, позволяющих однозначно определить прямую линию в пространстве. Перечислим основные из них.
Мы знаем из аксиомы, что через две точки проходит прямая, причем только одна. Таким образом, если мы отметим две точки в пространстве, то это позволит однозначно определить прямую линию, проходящую через них.
Второй способ задания прямой в пространстве основан на теореме: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем только одна.Таким образом, если задать прямую (или отрезок этой прямой) и не лежащую на ней точку, то мы однозначно определим прямую, параллельную заданной и проходящей через данную точку.
Следующий способ задания прямой в пространстве основан на аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Таким образом, задав две пересекающиеся плоскости, мы однозначно определим прямую в пространстве.
Еще один способ задания прямой в пространстве следует из теоремы: если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости.
Таким образом, чтобы определить прямую, можно задать плоскость, которой искомая прямая перпендикулярна, и точку, через которую эта прямая проходит.