Выпуклые множества
Теорема 1. Каждому решению системы 20 в задаче (6) соответствует единственное решение системы 20 задачи (7) и, наоборот, каждому решению системы 20 задачи (7) соответствует единственное решениесистемы 20 в задаче (6).
Определение 1. Множество выпукло, если оно вместе с любыми своими двумя точками ,
содержит соединяющий их отрезок.
Примерами выпуклых множеств на числовой прямой являются всевозможные интервалы, отрезки, полупрямые, сама прямая.
Примерами выпуклых множеств в пространстве является само пространство, любое его линейное подпространство, шар, одноточечное множество, отрезок, прямая, проходящая через точку
в направлении некоторого вектора, луч, выходящий из точки
в направлении некоторого вектора, гиперплоскость с нормалью и порождаемые ею полупространства, пустое множество.
Пусть ,
– две точки некоторого множества. Возьмем произвольную точку
(рис. 1). Выразим
через
,
:
;
;
.
Обозначая , имеем:
и
.
Рис.1. Произвольные точки ,
,
выпуклого множества
Определение 2. Выражение называют выпуклой линейной комбинацией, где
1,
2 – угловые (крайние) точки.
Замечание 1. Угловая точка не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации.
Замечание 2. Для угловых точек выпуклая линейная комбинация обобщается в виде: