Выпуклые множества

Теорема 1. Каждому решению системы 20 в задаче (6) соответствует единственное решение системы 20 задачи (7) и, наоборот, каждому решению системы 20 задачи (7) соответствует единственное решениесистемы 20 в задаче (6).

Определение 1. Множество выпукло, если оно вместе с любыми своими двумя точками ,содержит соединяющий их отрезок.

Примерами выпуклых множеств на числовой прямой являются всевозможные интервалы, отрезки, полупрямые, сама прямая.

Примерами выпуклых множеств в пространстве является само пространство, любое его линейное подпространство, шар, одноточечное множество, отрезок, прямая, проходящая через точку в направлении некоторого вектора, луч, выходящий из точки в направлении некоторого вектора, гиперплоскость с нормалью и порождаемые ею полупространства, пустое множество.

Пусть , – две точки некоторого множества. Возьмем произвольную точку (рис. 1). Выразим через , :

;; .

Обозначая , имеем:

и .

Рис.1. Произвольные точки ,,выпуклого множества

Определение 2. Выражение называют выпуклой линейной комбинацией, где ₁, ₂ – угловые (крайние) точки.

Замечание 1. Угловая точка не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации.

Замечание 2. Для угловых точек выпуклая линейная комбинация обобщается в виде: