Метод Монжа

Свойства прямоугольного проецирования

1. Проекции параллельных прямых параллельны.

2. Проекции равных и параллельных отрезков равны и параллельны.

3. Проекция точки делит проекцию отрезка в таком же соотношении, в каком точка делит отрезок.

Т. А будет соответствовать единственная проекция А₁ , т.к. проецирующая прямая пересекает П₁ только в одной точке. Однако восстановить точку А только по одной проекции нельзя, т.к. любая точка лежащая на проецирующей прямой является проекцией А_1. Поэтому для получения обратимого чертежа геометрической фигуры необходимо иметь две проекции.

При разработке чертежей конструкторской документации применяется проекционная модель Монжа.

Сущность метода: ортогональное проецирование геометрических фигур на две или три взаимно перпендикулярные плоскости (рис.3):

- П₁ – горизонтальная плоскость проекций;

- П₂ – фронтальная плоскость проекций;

- П₃ – профильная плоскость проекций.

Плоскости безграничны и делят пространство на 8 частей -октантов, отсчет которых ведется по часовой стрелке, если смотреть по положительному направлению оси Х.

Проекции точки

Пусть в некоторой системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей дана т. А. Для построения ортогональных проекций А₁, А₂, А₃ через т. А проводят прямые, перпендикулярные плоскостям проекций П₁, П₂, П₃, и определяются точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций:

А₁ – горизонтальная проекция т. А (А₁=А А₁ ∩ П₁ );

А₂ – фронтальная проекция т. А (А₂=А А₂ ∩ П₂ );

А₃ – профильная проекция т. А (А₃=А А₃ ∩ П₃ );

От пространственного изображения т. А переходят к комплексному чертежу (эпюру).

Эпюр Монжа получается путем совмещения плоскостей проекций П₁ и П₃ с неподвижной фронтальной плоскостью П₂ , а именно вращением П₁ вокруг ОХ и П₃ вокруг ОZ (рис.4).

Прямая А₁ А_х А₂ - вертикальная линия связи, А₂ А_z А₃ - горизонтальная линия связи.

Для того, чтобы однозначно определить положение точки в пространстве достаточно две проекции, третью всегда можно достроить, т.к. А₁ А_х = А_z А₃.

Координатами X, Y, Z точки называются числа выражающие её расстояния до плоскостей проекций: X – до профильной, Y – до фронтальной, Z – до горизонтальной. Зная координаты точки, можно построить ее проекции на комплексном чертеже.

Проекции прямых

В зависимости от положения относительно плоскостей проекций прямые делятся на:

1) прямые общего положения – это прямая, наклоненная ко всем плоскостям проекций (рис.5,6);

Условие принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой (А₁ Î а₁, А₂ Î а₂).

2) прямые частного положения:

2.1) уровня – параллельные одной из плоскостей проекций;

- горизонталь - ║ П₁ (h₂ ║ ОХ) (рис.7);

- фронталь - ║ П₂ (f₁ ║ ОХ) (рис.8);

- профильная прямая - ║ П₁ (p₁ ║ ОY , p₂ ║ ОZ) (рис.9).

2.1) проецирующие – перпендикулярные одной из плоскостей проекций:

- горизонтально -проецирующая прямая(рис.10);

-
фронтально -проецирующая прямая(рис.11);

- профильно-проецирующая прямая(рис.12);

В зависимости от положения в пространстве относительно друг друга прямые делятся на:

1) параллельные – одноименные проекции прямых взаимно параллельны: a₁

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) ║ b₁ , a₂ ║ b₂ (рис.13);

9) пересекающиеся – проекции прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии связи: a₁ ∩ b₁ = M₁, a₂ ∩ b₂ = M₂ (рис.14);

10) скрещивающиеся – не параллельны и не пересекаются (рис.15).

Проекции плоскости

Способы задания плоскости:

1. Три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой.

3. Двумя параллельными прямыми.

4. Двумя пересекающимися прямыми.

5. Плоской фигурой (треугольник, окружность и т.д.).

В зависимости от положения относительно плоскостей проекций плоскости делятся на:

1) плоскости общего положения (рис.16);

Условие принадлежности точки плоскости: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости.

2) плоскости частного положения:

2.1) проецирующие

- горизонтально – проецирующая плоскость ∆ ABC ┴ П₁ (рис.17);

- фронтально - проецирующая плоскость ∆ ABC ┴ П₂;

- профильно- проецирующая плоскость ∆ ABC ┴ П₃.

2.1) уровня (рис.18);:

- горизонтальная плоскость уровня α║П₁

- фронтальная плоскость уровня β ║П₂;

- профильная плоскость уровня γ ║П₃.

Условие принадлежности прямой плоскости: прямая принадлежит плоскости, если она проходит:

а) через две точки, принадлежащие этой плоскости;

б) через одну точку, принадлежащую плоскости, и параллельно прямой, принадлежащей плоскости.

Главные линии плоскости (рис.19) – горизонталь – h (h Î ∆ ABC), фронталь – f (f Î ∆ ABC), профильная прямая – p (p Î ∆ ABC), линия наибольшего ската k (k Î ∆ ABC, k ₁ ┴ h₁).