Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Рассмотрим на плоскости две системы координат – прямоугольную и полярную.

Введем разбиение области интегрирования линиями “полярной сетки» -
лучами φ=constи концентрическими окружностями r=const(картинка на радаре!).Ячейкой σijтакого разбиения является «криволинейный прямоугольник» с площадью ΔSij=ri∙Δri∙Δφj.

φ j+1
Интегральная сумма для двойного интеграла имеет вид

ri
σij
Δφj
ri+1
Δri
φ j

После упорядочения суммирования и перехода к пределу Δφj→0, Δri→0,получим для двойного интеграла в полярных координатах двукратные интегралы, соответствующие выбранному порядку интегрирования:

В полученных кратных интегралах:

- r1(φ), r2(φ)иφ1(r), φ2(r) –уравнения границ области в полярных координатах вдоль луча φ=constили вдоль окружности r=const;
φmin, φmax ( rmin, rmax) –
наименьшее и наибольшее значения полярного угла (длины радиус-вектора точки ) в области интегрированияD.

Замечание 1.1Если для выбранного порядка интегрирования область оказывается «сложной», ее следует разделить на «простые» и использовать свойство аддитивности интеграла.

============================