Сингулярное разложение матриц
0 0 1.0000
0 1.0000 0
0.8127 0.8165 0.8165
4 9 15
6 12 19
Дефектные матрицы
I
I 0
Диагональная декомпозиция
Имея диагональную матрицу Λ,составленную из собственных значенийλматрицыАи мат-рицу V, составленную из соответствующих собственных векторов v,можно записать
AV = VΛ
Если матрица V несингулярная, на основании данного выражения получаем спектральное разложение матрицы А
А = VΛV-1
Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше мат-рица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения
lambda = eig(A)
дает следующий вектор-столбец собственных значений (два из них являются комплексно-сопряженными)
lambda =
-3.0710
-2.4645 + 17.6008i
-2.4645 - 17.6008i
Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечи-вает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов.
При двух выходных аргументах, функцияeig вычисляет также собственные векторы и выда-ет собственные значения в виде диагональной матрицы
.
[V,D] = eig(A)
V =
-0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i
-0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i
-0.4248 -0.6930 -0.6930
D =
-3.0710 0 0
Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V)является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице.
Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, рав-на, в пределах погрешностей округления, матрице D.
Некоторые матрицы не имеют спектрального разложения. Такие матрицы называются дефек-тными или не диагонализируемыми. Например, пусть матрица Аимеет вид
A =
-9 -20 -33
Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A)дает
V =
-0.4741 -0.4082 -0.4082
-0.3386 -0.4082 -0.4082
D =
-1.0000 0 0
Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы Vявляются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-висимых собственных векторов не существует (и поэтому не существует обратная матрица V-1).
Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-трицы Aназываются скаляр σи пара векторов uи vтакие, что удовлетворяются соотноше-ния
Av = σu
ATu = σv
Имея диагональную матрицу сингулярных чисел Σи две ортогональные матрицы Uи V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать
AV = U Σ
ATU = V Σ
Поскольку UиV являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-ного разложения
A = U ΣVT
Полное сингулярное разложение матрицы Аразмера mхn включает mхm матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы Uи Vявляются квадратными , а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если Aимеет намного больше строк чем столб-цов, результирующая матрица Uможет быть достаточно большой, но большинство ее столб-цов умножаются на нули в Σ . В таких ситуациях может быть использована так называемая экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матри-цы Uразмера mхn, матрицы Σ размера nхnи той же матрицы V.
Спектральное разложение является подходящим инструментом анализа матрицы, когда пос-ледняя осуществляет преобразование векторного пространства в себя, как это было в рас-смотренном выше примере дифференциальных уравнений. С другой стороны, сингулярное разложение матриц удобно при отображении одного векторного пространства в другое, возможно с иной размерностью. Большинство систем совместных линейных уравнений отно-сятся ко второй категории. Если матрица Аявляется квадратной, симметричной и поло-жительно-определенной, то ее спектральное и сингулярное разложения совпадают. Но при отклонении Aот симметричной и положительно-определенной матрицы, разница между двумя разложениями возрастает. В частности, сингулярное разложение действительной мат-рицы всегда действительно, но спектральное разложение действительной несимметричной матрицы может быть и комплексным.