Степени матриц и матричные экспоненты

Псевдообратные матрицы

0.1472 -0.1444 0.0639

4 9 2

3 5 7

8 1 6

1 -2 1

3 -3 1

1 3 6

1 2 3

1 1 1

Обратные матрицы и детерминанты

5/7

3 5 4 1

6 8 7 3

b = fix (10*rand(2,1))

b =

Система уравнений Rx = bсодержит два уравнения с четырьмя неизвестными. Поскольку матрица коэффициентов R содержит небольшие по величине целые числа, целесообразно представить решение в формате rational (в виде отношения двух целых чисел). Частное ре-шение представленное в указанном формате есть:

p = R\b

p =

-11/7

Одно из ненулевых решений есть p(2), потому что второй столбец матрицы Rимеет наи-большую норму. Вторая ненулевая компонента естьp(4) поскольку четвертый столбец матрицы Rстановится доминирующим после исключение второго столбца (решение нахо-дится методом QR-факторизации с выбором опорного столбца).

Если матрица Аявляется квадратной и невырожденной, уравнения AX = IиXA = Iимеют одинаковое решение X. Это решение называется матрицей обратной к A, обозначается через A^-1 и вычисляется при помощи функции inv. Понятие детерминанта (определителя) матрицы полезно при теоретических выкладках и некоторых типах символьных вычислений, но его масштабирование и неизбежные ошибки округления делают его не столь привлекательным при числовых вычислениях. Тем не менее, если это требуется, функция det вычисляет определитель квадратной матрицы. Например,

A = pascal (3)

A =

d = det (A)

X = inv (A)

d =

X =

-3 5 -2

Опять таки, поскольку A является симметричной матрицей целых чисел и имеет единичный определитель, то же самое справедливо и для обратной матрицы. С другой стороны, для

B = magic(3)

B =

d = det(B)

X = inv(B)

d =

-360

X =

-0.0611 0.0222 0.1056

-0.0194 0.1889 -0.1028

Внимательное изучение элементов матрицы X, или использование формата rational , показы-вает, что они являются целыми числами, разделенными на 360.

Если матрица A является квадратной и несингулярной, то, пренебрегая ошибками округле-ния, выражение X = inv(A)*Bтеоретически означает то же, что и X = A\B, аY = B*inv(A) теоретически есть то же, что и Y = B/A. Однако вычисления включающие операторы \ и / более предпочтительны, поскольку требуют меньше рабочего времени, меньшей памяти и имеют лучшие свойства с точки зрения определения ошибок.

Прямоугольные матрицы не имеют детерминантов и обратных матриц. Для таких матриц по крайней мере одно из уравнений AX = Iили XA = Iне имеет решения. Частично данный про-бел восполняетсятак называемой псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза, или просто псевдообратной матрицей, которая вычисляется при помощи функции pinv. На практике необходимость в этой операции встречается довольно редко. Желающие могут всегда обра-титься к соответствующим справочным пособиям.