Верхне треугольный определитель
Вычисление определителя n-го порядка по минорам и АД
Вычисление определителя n-го порядка по минорам или АД такое же, как и определителя 3-го порядка. Нужно просто учитывать, что при больших порядках определителя, его миноры и дополнения также представляют собой определители, но уже (n-1)-го порядка со своими минорами и АД. Таким образом, вычисление сводится к последовательному понижению порядка исходного определителя с помощью его миноров и АД.
Определение: верхний треугольный определитель (ВТО) - определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю:
Теорема: ВТО равен произведению элементов его главной диагонали.
Все остальные слагаемые, например для определителя 3-го порядка, по правилу Саррюса будут равны нулю. В дальнейшем будет доказана теорема Гаусса, позволяющая нам привести любой определитель к форме ВТО.
Доказательство: методом математической индукции по порядку определителя:
1.
2. Пусть п.1 справедлив для определителя k-того порядка (n=k). Тогда рассмотрим определитель k+1 - го порядка и разложим его по последней строке по минорам:
Теорема доказана.
Глава 2. Матрицы и системы линейных уравнений