Эмпирические формулы
Пусть даны табличные значения 
и 
.
Необходимо найти аналитическую зависимость 
. Поиск такой зависимости называют «сглаживанием» экспериментальных данных. Сглаживание можно производить, используя метод наименьших квадратов (МНК). При этом следует указать вид эмпирической формулы
(1)
Затем находится сумма квадратов отклонений
(2)
и ищется ее минимум из условий 
, 
(3)
В общем случае система уравнений (3) нелинейна. Ее можно решить, применяя итерационные методы.
- Более простым методом является метод выравнивания, при котором нелинейная зависимость (1) может быть сведена к линейной.
Пусть экспериментальные точки 
и 
не располагаются вблизи прямой. Это свидетельствует о нелинейной зависимости между и . Вводятся новые переменные
. (4)
так, чтобы преобразованные экспериментальные данные 
; 
менее уклонялись от прямой. Для аппроксимирующей прямой
(5)
Коэффициент 
и 
можно определить из уравнений (2) и (4)
Окончательный результат получают в виде
(6)
Далее уравнение (6) разрешается относительно .
Пример: Установить вид эмпирической формулы 
используя зависимость (1) с двумя параметрами 
и определить наилучшие значения параметров, если данные представлены таблицей
|
| |||||
|
| 7.1 | 27.8 | 62.1 |
Решение: Строим график . Точки не лежат на прямой.
Делаем преобразование: 
; 
.
Составим таблицу преобразованных данных
| 0.000 | 0.693 | 1.099 | 1.386 | 1.609 |
| 1.960 | 3.325 | 4.128 | 4.700 | 5.081 |
Строим график и убеждаемся, что связь между 
и 
почти линейная.
Составляем уравнение
Находим 
и 
, и приравниваем их нулю.
Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Таким образом
Этот результат можно было бы непосредственно получить, решая задачу
Однако, методом выравнивания задача решается проще!
- Метод выбранных точек
Обычно применяется для нахождения начальной оценки параметров. Если связь между переменными – нелинейная, то, разлагая нелинейную зависимость в ряд по формуле Тейлора, производят линеаризацию системы, оставляя только линейные члены уравнения. Затем решение уточняется методом итераций. В качестве нулевого (начального) приближения берутся оценки параметров, найденные по методу выбранных точек.
В методе оставляют столько экспериментальных данных, сколько имеется неизвестных параметров.
Затем находится решение полученной системы!