Оценка приближения.

Из условия (4) , учитывая, что , получаем

. (1)

Приведем без доказательства еще одну формулу для оценки погрешностей.

. (2)

Из (1) и (2) следует, что итерационный процесс сходится тем быстрее, чем меньше .

Если , погрешность удобно оценить так: последовательные приближения и , в этом случае лежат по разные стороны от корня . Поэтому

. (3)

Если за приближенное значение корня взять полусумму последних полученных приближений , то .

Пример:Вычислить приближенно действительный корень уравнения.

.

при всех .

Сузим этот интервал методом половинного деления.

Вычислим , поэтому .

! поэтому заменяем исходное уравнение равносильным

,

получаем ; .

Находим , такое чтобы при .

Пусть

Тогда

При ,

Получаем .

Пусть

При таком выполняется достаточное условие сходимости итерационного процесса, т.к. ; .

Выбираем

Подставляем , в правую часть уравнения

получаем

Аналогично находим:

; ; ; ; ; ; ; ;

Оценим погрешность по формуле

Итак ;

1) Условие сходимости всегда выполняется для функций , где .

2) Если производная отрицательна на отрезке , то уравнение , заменяется на .