УПРАЖНЕНИЯ

Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования

Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач

Алгоритм и методы решения транспортной задачи могут быть использованы при решении некоторых экономических за­дач, не имеющих ничего общего с транспортировкой груза. В этом случае величины тарифов с_ij имеют различный смысл в зависимости от конкретной экономической задачи. К таким задачам относятся следующие:

— оптимальное закрепление за станками операций по обра­ботке деталей. В них c_ij является таким экономическим показателем, как производительность. Задача позволяет определить, сколько времени и на какой операции нуж­но использовать каждый из станков, чтобы обработать максимальное количество деталей. Так как транспорт­ная задача требует нахождения минимума, то значения c_ij берутся с отрицательным знаком;

— оптимальные назначения, или проблема выбора. Имеет­ся т механизмов, которые могут выполнять т различ­ных работ с производительностью c_ij. Задача позволяет определить, какой механизм и на какую работу надо на­значить, чтобы добиться максимальной производитель­ности;

— задача о сокращении производства с учетом суммарных расходов на изготовление и транспортировку продукции;

— увеличение производительности автомобильного транс­порта за счет минимизации порожнего пробега. Умень­шение порожнего пробега сократит количество автомо­билей для перевозок, увеличив их производительность;

— решение задач с помощью метода запрещения перевозок. Используется в том случае, если груз от некоторого по­ставщика по каким-то причинам не может быть направ­лен одному из потребителей. Данное ограничение мож­но учесть, присвоив соответствующей клетке достаточ­но большое значение стоимости, тем самым в эту клетку не будут производиться перевозки.

На предприятии имеются три группы станков, каждая из которых может выполнять пять операций по обработке дета­лей (операции могут выполняться в любом порядке). Макси­мальное время работы каждой группы станков соответственно равно 100, 250, 180 ч. Каждая операция должна выполняться соответственно 100, 120, 70, 130 ч.

Определить, сколько времени и на какую операцию нужно использовать каждую группу станков, чтобы обработать мак­симальное количество деталей.

Производительность каждой группы станков на каждую операцию задана матрицей

Решение. Воспользуемся алгоритмом решения закрытой транспортной задачи (табл. 23.13).

Так как в задаче требуется найти максимум, а согласно алгоритму транспортной задачи находится минимум, тарифы умножим на (—1).

Находим потенциалы свободных клеток:

Так как Δ₁₄ = 3 > 0, перераспределим грузы, получим

Полученное перераспределение грузов занесем в табл. 23.14.

Оценки свободных клеток составляют

Найденное решение является оптимальным, так как все оценки свободных клеток отрицательные. Итак,

Таким образом, на первой группе станков целесообразно выполнять операции 1 и 4 продолжительностью 40 и 60 ч со­ответственно, на второй группе — операции 1, 2 и 3 продолжи­тельностью 60, 120 и 70 ч соответственно, на третьей группе — операции 4 и 5 продолжительностью 50 и 130 ч соответственно. При этом максимальное число обработанных деталей составит 5 170 шт.

Решить следующие транспортные задачи, заданные распреде­лительной таблицей.

23.5. Требуется спланировать перевозку строительного мате­риала с трех заводов к четырем строительным площадкам, используя железнодорожную сеть. В течение каждого кварта­ла на четырех площадках требуется соответственно 5, 10, 20, 15 вагонов строительных материалов. Возможности различных заводов соответственно равны 10, 15 и 25 вагонов в квартал. Условия задачи даны в табл. 23.15. Числа на пересечении строк и столбцов таблицы означают стоимость перевозки одного ва­гона (усл. ед.).

23.6. Решить транспортную задачу, заданную распредели­тельной табл. 23.16, причем перевозки от 2-го поставщика ко 2-му потребителю и от 3-го поставщика к 1-му потребителю временно закрыты (в таблице эти тарифы обозначены боль­шим числом М > 0).

23.7. В трех пунктах производства имеется одинаковая про­дукция в объеме 200, 170, 130 т. Эта продукция должна быть доставлена потребителям в количестве 50, 220, 80, 110 и 140 т. Стоимости перевозок единицы продукции от каждого постав­щика к каждому потребителю заданы матрицей

В связи с неплатежеспособностью перевозки от первого пункта производства до первого пункта потребления и от вто­рого пункта производства до третьего пункта потребления вре­менно закрыты. Составить оптимальный план перевозок, при котором суммарные затраты на них минимальные.

23.8. Фирма получила заказы на три вида выпускаемой ею продукции (бокалы, чашки и вазы), которые необходимо изго­товить в течение следующей недели. Размеры заказов: бока­лы — 4000 шт., чашки — 2400 шт., вазы — 1000 шт.

Участок по изготовлению имеет три станка, на каждом из которых можно делать любой из заказанных видов продукции с одинаковой производительностью. Однако единичные затра­ты по каждому виду продукции различны в зависимости от используемого станка и заданы табл. 23.17.

Кроме того, известно, что производственные мощности 2-го и 3-го станков на следующую неделю составят 3000 шт., а 1-го станка — 2000 шт.

Используя модель транспортной задачи, найти план произ­водства для заказанных видов продукции, имеющий наимень­шую стоимость.

Глава 24. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ