Проверка найденного опорного решения на оптимальность

Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю

Нахождение исходного опорного решения

Условия задачи и ее исходное опорное решение будем за­писывать в распределительную таблицу. Клетки, в которые поместим грузы, называются занятыми, им соответствуют ба­зисные переменные опорного решения. Остальные клетки неза­нятые, или пустые, им соответствуют свободные переменные. В верхнем правом углу каждой клетки будем записывать та­рифы. Существует несколько способов нахождения исходного опорного решения.

Рассмотрим один из них — метод минимального тарифа (элемента). Согласно этому методу, грузы распределяются в первую очередь в те клетки, в которых находится минималь­ный тариф перевозок c_ij. Далее поставки распределяются в не­занятые клетки с наименьшими тарифами с учетом оставших­ся запасов у поставщиков и удовлетворения спроса потребите­лей. Процесс распределения продолжают до тех пор, пока все грузы от поставщиков не будут вывезены, а потребители не будут удовлетворены. При распределении грузов может ока­заться, что количество занятых клеток меньше, чем т + п - 1. В этом случае недостающее их число заполняется клетками с нулевыми поставками, такие клетки называют условно заня­тыми.

Нулевые поставки помещают в незанятые клетки с учетом наименьшего тарифа таким образом, чтобы в каждых строке и столбце было не менее чем по одной занятой клетке.

Рассмотрим нахождение исходного опорного решения тра­нспортной задачи на конкретном примере.

На складах A₁, А₂, А₃ имеются запасы продукции в количествах 90, 400, 110 т соответственно. Потребители В₁, В₂, B₃ должны получить эту продукцию в количествах 140, 300, 160 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной. Расходы по перевозке 1 т продукции заданы матрицей (усл. ед.)

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное опорное решение по методу минимального тарифа.

Число занятых клеток в табл. 23.2 равно т + п - 1 = 3 + 3 – 1 = 5, т.е. условие невырожденности выполнено. Получи­ли исходное опорное решение, которое запишем в виде матри­цы:

Стоимость перевозки при исходном опорном решении со­ставляет

Найденное исходное опорное решение проверяется на опти­мальность методом потенциалов по следующему критерию: ес­ли опорное решение транспортной задачи является оптималь­ным, то ему соответствует система т + п действительных чи­сел u_i и v_j, удовлетворяющих условиям u_i + v_j = c_ij для заня­тых клеток и u_i + v_j - с_ij ≤ 0 для свободных клеток.

Числа u_i и v_j называют потенциалами. В распределитель­ную таблицу добавляют строку v_j и столбец u_i.

Потенциалы u_i и v_j находят из равенства u_i + v_j = c_ij, спра­ведливого для занятых клеток. Одному из потенциалов дает­ся произвольное значение, например и₁ = 0, тогда остальные потенциалы определяются однозначно. Так, если известен по­тенциал u_i, то v_j = с_ij — u_i; если известен потенциал v_j, то u_i = c_ij – v_j.

Обозначим Δ_ij = u_i + v_j - c_ij. Эту оценку называют оценкой свободных клеток. Если Δ_ij ≤ 0, то опорное решение является оптимальным. Если хотя бы одна из оценок Δ_ij > 0, то опор­ное решение не является оптимальным и его можно улучшить, перейдя от одного опорного решения к другому.

Проверим найденное опорное решение на оптимальность, добавив в распределительную табл. 23.3 столбец u_i и строку v_j.

Полагая u₁ = 0, запишем это значение в последнем столбце таблицы.

Рассмотрим занятую клетку первой строки, которая распо­ложена в первом столбце (1,1), для нее выполняется условие и₁ + v₁ = 2, откуда v₁ = 2. Это значение запишем в послед­ней строке таблицы. Далее надо рассматривать ту из занятых клеток таблицы, для которой один из потенциалов известен.

Рассмотрим занятую клетку (3,1): и₃ + v₁ = 3, v₁ = 2, откуда и₃ = 1.

Для клетки (3,3): и₃ + v₃ = 8, и₃ = 1, v₃ = 7.

Для клетки (2,3): и₂ + v₃ = 5, v₃ = 7, и₂ = -2.

Для клетки (2,2): u₂ + v₂ = 1, и₂ = -2, v₂ = 3.

Найденные значения потенциалов заносим в таблицу.

Вычисляем оценки свободных клеток:

Получили одну оценку Δ₁₃ = 5 > 0, следовательно, исход­ное опорное решение не является оптимальным и его можно улучшить.