Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объ­ема п, в которой значение x₁ некоторого исследуемого призна­ка Х наблюдалось п₁ раз, значение x₂ — п₂ раз, ..., значение x_k — n_k раз. Значения x_i называются вариантами, а их после­довательность, записанная в возрастающем порядке,— вариационным рядом. Числа n_i называются частотами, а их отно­шения к объему выборки

— относительными частотами. При этом n_i = п. Модой М_o называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Ме­дианой т_е называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т.е. k = 2l + 1, то m_e = x_l+1; если же число вариант четно (k = 2l), то т_е = (x_l + x_l+1)/2. Разма­хом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки:

Перечень вариант и соответствующих им частот называ­ется статистическим распределением выборки. Здесь имеет­ся аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностей — это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — это соответствие между наблюда­емыми вариантами и их частотами (относительными частота­ми). Нетрудно видеть, что сумма относительных частот равна единице: W_i = 1.

Пример 2. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот и основные харак­теристики вариационного ряда.

Решение. Найдем объем выборки: п = 2 + 4 + 5 + 6 + 3 = 20. Относительные частоты соответственно равны W₁ = 2/20 = 0,1; W₂ = 4/20 = 0,2; W₃ = 5/20 = 0,25; W₄ = 6/20 = 0,3; W₅ = 3/20 = 0,15. Контроль: 0,1 + 0,2 + 0,25 + 0,3 + 0,15 = 1. Искомое распределение относительных частот имеет вид

Мода этого вариационного ряда равна 12. Число вариант в дан­ном случае нечетно: k = 2 ∙ 2 + 1, поэтому медиана m_e = x₃ = 8. Размах варьирования, согласно формуле (18.48), R = 17 – 4 = 13.