Свойства дисперсии

 

Приведем здесь основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

 

 

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

 

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

 

 

Перечисленные свойства дисперсии используются при вы­числениях, когда мы имеем дело с несколькими случайными ве­личинами. Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X + C) = D(X), где С — постоянная величина. Кроме того, справед­лива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Дисперсия числа появления события А в п не­зависимых испытаниях с вероятностью появления р в каж­дом из них этого события вычисляется по формуле

 

 

Приведем здесь еще два важных результата: для случай­ной величины, распределенной по закону Пуассона (18.4), ма­тематическое ожидание и дисперсия равны параметру данного распределения.

Пример 7. Найти дисперсию числа выигрышных лотерейных билетов по данным примера 4.

Решение. Имеем 200 независимых испытаний с вероятнос­тью появления выигрышного билета р = 0,015. Стало быть, q = 1 - 0,015 = 0,985, откуда и получаем искомую дисперсию:

 

Пример 8. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти матема­тическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также усло­вие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании рав­на q = 1 - р. Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется фор­мулой

 

 

где Х является случайной величиной с биномиальным зако­ном распределения. Тогда, согласно теореме 18.1, математи­ческое ожидание прибыли определяется с использованием фор­мулы (18.7):

 

 

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положитель­ном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

 

 

Дисперсия прибыли банка находится, согласно теореме 18.2, с использованием формулы (18.14) и свойств 1-3: