Интегральная теорема Лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных п ис­пытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употре­бимы определения вероятности события А в п испытаниях, ког­да k изменяется в заданном интервале значений: l < k < т. Соответствующую вероятность обозначают Р_п(l, т). Формула для приближенного вычисления этой вероятности устанавли­вается следующей интегральной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 8. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в п испытаниях от l до т раз, приближенно равна определенному интегралу:

Формула (17.18), как и (17.17), применима в случае боль­ших значений п и k. При вычислениях по этой формуле поль­зуются специальными таблицами для интеграла

поскольку соответствующий неопределенный интеграл не вы­ражается через элементарные функции. Функцию Ф(x) часто называют интегралом ошибок, соответствующая таблица ее значений приведена в Приложении. Эта функция является не­четной, поэтому в таблицах обычно приводят значения Ф(x) для положительных значений верхнего предела интегрирова­ния х. Более удобно использовать формулу (17.18) в виде фор­мулы Ньютона-Лейбница:

Пример 5. Вероятность выпуска бракованных деталей рав­на 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных деталей будет не менее 75 стандартных.

Решение. По условию задачи р = 0,7, q = 0,3, n = 100. Условие "не менее" означает, что число стандартных деталей k заключено в пределах от l = 75 до т = 100. Согласно формуле (17.19) производим предварительные вычисления:

Далее по табл. 2 Приложения находим соответствующие зна­чения интегральной функции Ф(x), подставляем их в формулу (17.19) и получаем значение искомой вероятности:

Пример 6. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застрахо­вавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р: 1) 0,9, 2) 0,995.

Решение. Прибыль компании зависит от числа страховых выплат k при несчастных случаях. Будем полагать, что вели­чина ее равна разности между суммами страховых взносов и страховых выплат:

Теперь задача состоит в нахождении такого числа N, чтобы вероятность несчастного случая Р_{10 000}(k > N) была не больше заданной величины 1 — Р, или, что то же самое, чтобы выпол­нялось условие

Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит (20 - 0,2N) млн р. Предварительные вычисления значений аргумен­та функции Ф(x) при п = 10 000, l = N и m = 10 000 по фор­мулам (17.19) дают:

Из табл. 2 находим, что Ф(x) = 0,5 при |x| > 5. Подставляя в указанное выше неравенство, получаем

1. В этом случае имеем неравенство

По табл. 2 находим, что при значении функции Ф = 0,4 аргу­мент х равен 1,28; поскольку функция Ф(x) является монотонно возрастающей, то неравенство между значениями Ф(x) перехо­дит в неравенство такого же смысла и для соответствующих аргументов:

Отсюда получаем, что N ≥ 50 + 9,02, или N ≥ 60. В этом случае с вероятностью 0,9 страховой компании гарантирована прибыль

2. Проводя для этого случая аналогичные вычисления, по­лучим

Из табл. 2 находим, что при Ф(x) = 0,495 аргумент х = 2,57, т.е.

Из последнего неравенства получаем N ≥ 69, и в этом случае с вероятностью 0,995 компании гарантирована прибыль

Из решенной задачи хорошо видно, что увеличение риска страхования может привести к возрастанию прибыли компа­нии. Это есть реализация известного принципа в предпринима­тельской деятельности: менее рискованные, но более надежные финансовые операции не приносят сверхприбылей.