Формула Бернулли
Схема независимых испытаний
Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А.
Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 - p. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится k раз и не осуществится п - k раз.
Вероятность этого сложного события, состоящего из п испытаний, определяется формулой Бернулли
Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не менее двух раз.
Решение. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы, т.е. р = q = 0,5. 1) В этом случае п = 6, k = 2. Отсюда согласно формуле (17.16) получаем
Пример 2. Вероятность покупки бракованного комплекта посуды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будет без брака.
Решение. Вероятность покупки комплекта без брака р = 0,9, q = 0,1 — это дано по условию задачи. Тогда искомая вероятность находится по формуле (17.16):
Пример 3. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на два, три и четыре вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).
Решение. Искомые значения вероятности находятся по формуле Бернулли (17.16) с учетом того, что вероятность события А (правильный ответ) в каждом испытании (выбор ответа на вопрос теста) равна 0,25, а q = 0,75. Отсюда получаем:
