Появление только одного из независимых событий

Обобщения теорем сложения и умножения

Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло­жения и умножения. Пусть два независимых события А₁ и А₂имеют вероятности появления соответственно p₁ и р₂. Найдем вероятность появления только одного из этих событий. Для этого введем новые события: В₁ и B₂. Событие В₁ состоит в том, что событие А₁ наступило, а событие А₂ не наступило; иными словами, В₁ = A₁₂. Аналогичным образом определя­ется и событие B₂ = ₁A₂ (совместное ненаступление события A₁ и наступление события А₂). Поскольку события А₁ и A₂ независимы, то независимы также и противоположные coбытия ₁ и ₂; тогда события В₁ и В₂ являются несовместными. Вероятность наступления только одного из событий А₁ и А₂находится как сумма вероятностей несовместных событий В₁ и B₂:

где _q1 = 1 – p₁ , q₂ = 1 - р₂.

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости формулы вероятности наступления только одного из трех не­зависимых событий A₁, А₂, А₃ с вероятностями наступления соответственно р₁, р₂и р₃:

где B_i — произведения наступившего события А_i и двух дру­гих ненаступивших событий (i = 1, 2, 3). Для случая п неза­висимых событий формула вероятности наступления только одного из них имеет аналогичный вид — сумма п слагаемых, каждый член которой представляет собой произведение вероятности наступления одного из событий на вероятности (n - 1) других противоположных событий.

Пример 1. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из кон­трактов не "лопнет", равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов предприниматель по меньшей мере ничего не потеряет?

Решение. Предприниматель по крайней мере ничего не по­теряет, если либо не "лопнет" один из контрактов (другой воз­местит ему потери), либо будут выполнены оба контракта. Пусть события А₁ и А₂ — это выполнение соответствующих контрактов (вероятность р = 0,8); эти события являются независимыми. Противоположные им события ₁ и ₂ — не­выполнение контрактов (вероятность q = 0,2). Тогда собы­тия В₁ = А₁₂, В₂ = ₁A₂ и A₁A₂ являются несовместны­ми (последнее событие — это выполнение обоих контрактов). Искомая вероятность определяется с учетом формул (17.10) и (17.7):