Виды случайных событий

Выше было введено определение случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо "совокупности условий" употребляют термин "испытание", и тогда событие трактует­ся как результат испытания. Например, стрельба по мишени: выстрел — это испытание, попадание в мишень — это собы­тие. Другой пример: подбрасывание монеты вверх — это ис­пытание, выпадение орла (или решки) — это событие.

Определение 1. События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление других. Например, выпадение орла при подбрасыва­нии монеты исключает появление в этом же испытании решки и наоборот.

Определение 2. Несколько событий образуют полную груп­пу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием. Например, при произве­дении выстрела по мишени (испытание) обязательно будет ли­бо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу.

Следствие. Если события, образующие полную груп­пу, попарно несовместны, то в результате испытания по­явится одно и только одно из этих событий.

Этот частный случай будет использован далее.

Классическое определение вероятности

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходом. Те элементарные ис­ходы, которые интересуют нас, называются благоприятными событиями.

Определение 3. Отношение числа благоприятствующих со­бытию А элементарных исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.

Вероятность события А обозначается Р(А). Понятие веро­ятности является одним из основных в теории вероятностей. Данное выше определение является классическим. Из него вы­текают некоторые свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть поло­жительное число:

Следовательно, вероятность любого события удовлетворя­ет неравенству

Отметим, что современные курсы теории вероятностей ос­нованы на теоретико-множественном подходе, в котором эле­ментарные события являются точками пространства элемен­тарных событий Ω; при этом событие А отождествляется с подмножеством элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, А Ω.

Приведем примеры непосредственного вычисления вероят­ностей.

Пример 4. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Решение. Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся, равно C= C= . = 15. Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5: C= 252. Согласно определению 3 искомая вероятность Р = 15/252 ≈ 0,06.

Пример 5. Какова вероятность того, что при заполнении кар­точки спортивной лотереи "6 из 36" будет угадано 4 номера?

Решение. Общее число исходов равно C= 1947792. Чис­ло благоприятных исходов равно С= 15. Отсюда искомая вероятность равна 7,7 ∙ 10^-6.

Пример 6. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестан­дартных деталей. Какова вероятность, что среди наугад взя­тых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение. Общее число исходов равно С. Число благо­приятных исходов определяется произведением СС, где пер­вый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика 4-х стандартных деталей из 10, а второй — числу вари­антов изъятия из ящика 2-х нестандартных деталей из пяти. Отсюда следует, что искомая вероятность равна