Некоторые формулы комбинаторики

Основные понятия теории вероятностей

Часть 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 17. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случай­ные. Достоверным относительно комплекса условий S называ­ется событие, которое обязательно произойдет при осуществле­нии этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона. Невозмож­ным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комлекса условий S. Например, из герметичес­ки изолированного сосуда вода не может вылиться. Случайным относительно комплекса условий S называется событие, кото­рое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уро­нили фарфоровую чашку на пол, то она может как разбиться, так и остаться неповрежденной.

Теория вероятностей имеет дело со случайными события­ми. Однако она не может предсказать, произойдет единичное событие или нет. Теория вероятностей изучает вероятност­ные закономерности массовых однородных случайных собы­тий. Ее методы получили широкое распространение в различ­ных областях естествознания и в прикладных проблемах тех­ники. Теория вероятностей легла в основу теории массового обслуживания и теории надежности. В последние годы аппа­рат теории вероятностей активно используется в экономике.

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбина­ции, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их.

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число всех воз­можных перестановок определяется произведением чисел от единицы до п:

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 с использованием всех указанных цифр в каждом числе ?

Решение. Искомое число равно Р₄ = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.

Комбинации по т элементов, составленные из п различных элементов (m ≤ п), отличающиеся друг от друга либо эле­ментами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных размещений

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из семи различных цифр при отсутствии среди них нуля ?

Решение. Искомое количество цифр

Комбинации, содержащие по т элементов каждая, состав­ленные из п различных элементов (m ≤ п) и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний дается формулой

Можно показать, что справедливы формулы

В частности, первую из формул удобно использовать в расче­тах, когда т > п/2.

Напомним формулу бинома Ньютона, в которой участвуют коэффициенты (17.1):

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать а) по три карты, б) по 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?

Решение. Искомое число способов: