Линейная модель многоотраслевой экономики

В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины a_ij = x_ij / x_j меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоян­ные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потреб­ления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема x_j есть технологическая константа.

В силу указанного факта можно сделать следующее до­пущение: для производства продукции j-й отрасли объема x_j нужно использовать продукцию i-й отрасли объема a_ijx_i, где a_ij — постоянное число. При таком допущении технология про­изводства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа а_ij называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линей­ности, имеем

Тогда уравнения (16.2) можно переписать в виде системы урав­нений

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произве­денной продукции (вектор валового выпуска), объемов продук­ции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

Тогда система уравнений (16.4) в матричной форме имеет вид

Обычно это соотношение называют уравнением линейно­го межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления (16.5) это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда извес­тен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления — подобная задача была рассмотрена выше (п. 16.1, пример 5).

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса ис­пользуется для целей планирования со следующей формули­ровкой задачи: для периода времени T (например, год) извес­тен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (16.6) с известной матрицей А и задан­ным вектором . В дальнейшем мы будем иметь дело именно с такой задачей.

Между тем система (16.6) имеет ряд особенностей, вытека­ющих из прикладного характера данной задачи; прежде всего все элементы матрицы А и векторов и должны быть неот­рицательными.