Решение системы однородных уравнений

Однородные системы линейных уравнений

Определение 1. Система линейных уравнений называется од­нородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.

В общем случае однородная система (или система однород­ных уравнений) имеет вид

Однородная система уравнений всегда совместна. Дейст­вительно, набор значений неизвестных x_i = 0 (i = 1, 2,... , п) удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение одно­родной системы называется нулевым, или тривиальным.

Вопрос о существовании ненулевого решения однородной системы линейных уравнений (15.14) разрешает следующая те­орема.

ТЕОРЕМА 3. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше чис­ла ее неизвестных.

Из этой теоремы вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если число уравнений однородной сис­темы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение.

Следствие 2. Если в однородной системе число урав­нений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое ре­шение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.