Общий вид и свойства системы уравнений
Основные понятия
Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) x1, x2, ..., xп имеет вид
Здесь aij и bi — произвольные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2, ..., n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (15.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного xi.
Решением системы уравнений (15.1) называется набор п чисел x1 = α1, x2 = α2, … , xn = αn, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.
Система уравнений (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.
Системы уравнений вида (15.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:
— вычеркивание уравнения 0x1 + 0x2 + ... + 0хn = 0 — нулевой строки;
— перестановка уравнений или слагаемых aijxj в уравнениях;
— прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;
— удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.
Последнее свойство вытекает из третьего свойства: если какое-либо уравнение представляет собой линейную комбинацию других уравнений, то из него можно сформировать нулевую строку.