Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где y – искомая функция, а р(х), q(x) и f(x) – известные функции, непрерывные на некотором интервале (a, b).

Если f(x) ≡ 0, то уравнение (10.7) называется линейным однородным уравнением. Если f(x) ≠ 0, оно называется ли­нейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (10.7) относительно второй производной, то легко увидеть, что оно является частным случаем уравнения (10.2) и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (10.3) при x₀ (а, b) это уравнение имеет единствен­ное решение задачи Коши.

В этом разделе мы рассмотрим важный и весьма распро­страненный случай, когда в уравнении вида (10.7) функции р(х) и q(x) — постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффи­циентами. Итак, мы рассматриваем уравнение вида

где р и q — вещественные числа. Как и в общем случае линей­ных дифференциальных уравнений второго порядка, основой в построении решения являются однородные уравнения.