Базовые определения
Основные понятия
Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.
В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.
В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от одной переменной. Теория дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.
Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Определение 1. Уравнение вида
где х — независимая переменная, у и у' — соответственно неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:
В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид
Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида. Примеры уравнений, разрешенных относительно производной:
Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.
Пример 1. (y')2 = x2 + у2, откуда получаем два уравнения первого порядка у' = ±.
Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Например, функция у = х2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' — 2х2 = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.
В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x,y) и ее частная производная f'y(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (x0, у0) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у0 при х = x0.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Условия, которые задают значение функции у0 в фиксированной точке x0, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:
Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворяющего условию (9.2), называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (x0, y0) области D.
В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполнены, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной интегральной кривой; эти точки называются особыми точками данного дифференциального уравнения.
Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называется функция у = φ(x, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.
Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в области D называется функция у = φ(х,С0), полученная при определенном значении постоянной С = С0.
Общее решение у = φ(x, С) описывает семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фиксируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интегральную кривую у = φ(x,C0), проходящую через заданную точку (x0, y0).
Например, рассмотрим уравнение у' = 2х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции f(x, у) = 2х и f'y(x, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетрудно видеть, что общим решением уравнения является функция у = х2 + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у0 — x02, откуда находим частное решение у = х2 + у0 – х02. Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х0, у0).