Площадь плоской фигуры

Геометрические приложения определенного интеграла

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную гра­фиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b] и вертикальными прямыми х = а и х = b (рис. 7.2). Эту фигуру будем называть криволинейной трапе­цией.

Величина площади криволинейной трапеции равна опреде­ленному интегралу от функции f(x) на отрезке [а, b]:

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(х) соответственно, непрерывными на от­резке [а, b], то площадь S криволинейной фигуры равна разнос­ти площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(х):

Рассмотрим задачи на вычисление площадей фигур.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = ln x ≥ 0, осью Ох и прямой х = 2.

Решение. Отрезок интегрирования: 1 ≤ х ≤ 2 (рис. 7.3), так что искомая площадь согласно формуле (7.14) равна:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = х².

Решение. Вычислим абсциссы точек пересечения указан­ных кривых, для чего приравняем правые части этих уравне­ний: х² = . Корни этого уравнения суть x₁ = 0, x₂ = 1. Сле­довательно, площадь фигуры, ограниченной сверху функцией у = и снизу функцией у = x² (рис. 7.4), дается определенным интегралом на отрезке [0,1]: