Определение определенного интеграла

Условия существования определенного интеграла

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить интегралы методом непосредственного интегриро­вания.

Вычислить интегралы методом подстановки.

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

Глава 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем от­резок [а, b] на п произвольных частей точками:

Выберем в каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1] произволь­ную точку ξ_i:

Теперь образуем сумму произведений:

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ ука­зан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δx_i и высотами f(ξ_i) (i = 1, 2, ..., п).

Введем еще одну величину. Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:

Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интег­ралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:

Определенный интеграл обозначается символом

Если определенный интеграл (7.2) существует, то функ­ция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегри­рования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.

Величина определенного интеграла, согласно данному вы­ше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозна­чения переменной интегрирования, т.е.

Классы интегрируемых функций

Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегри­руемыми (т.е. существует определенный интеграл (7.2)), да­ют следующие теоремы, которые мы приводим без доказа­тельства.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) ин­тегрируема на этом отрезке.