Рациональная функция от sin х и cos х
Рассмотрим интеграл вида
где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой
Действительно,
Подстановка формул (6.5) в интеграл (6.4) дает
где R1(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рассмотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рациональные функции от sin x и cos x.
Решение. Подставляя сюда формулы (6.5), после очевидных упрощений получаем
Пример 12. dx, т и п — натуральные числа.
Решение. Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной. В зависимости от четности m и п употребимы три следующих варианта.
1) m — четное, n — нечетное, подстановка t = sin x.
2) т — нечетное, n — четное; подстановка t = cos x.
3) m и n — оба нечетные; любая из двух подстановок 1 или 2.
4) m и п — оба четные; понизить степени тригонометрических функций и в полученной сумме проверить каждое слагаемое по пп. 1-3.
Например, найти интеграл dx.
Согласно п. 2 выполним подстановку t = cos x; тогда dt = - sin x dx, sin4 x = (1 — t2)2; отсюда имеем
Рациональная функция от еx
Интеграл вида
рационализируется подстановкой
Пример 13. Найти интеграл . Применяя подстановку (6.6), получим