Интегрирование по частям

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и диффе­ренцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет пер­вообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем спра­ведлива формула

С учетом вида дифференциалов функций v'(x)dx = dv и u'(x)dx = du равенство (6.2) часто используют в форме

Равенство (6.2) (или (6.3)) называется формулой интегри­рования по частям.

В интегрировании по частям самым сложным является выбop в подынтегральном выражении сомножителя v'(x) dx = dv. Под знак дифференциала d можно в принципе внести все что угодно; однако выбор должен быть таким, чтобы интеграл в правой части (6.2) был проще исходного, а не сложнее. В этом смысле метод интегрирования по частям позволяет свести ин­теграл dv к интегралу du, вычислить который существенно проще. Рассмотрим примеры нахождения интегралов ме­тодом интегрирования по частям.

Пример 8. dx.

Решение. Здесь берем и(х) = ln x, dv = dx, т.е. v = х. По формуле (6.2) получаем

В общем случае интегралы вида ln х dx, где п ≠ 1 — целое число, берутся только интегрированием по частям: и = ln x, xⁿdx = dv, т.е. v = хⁿ⁺¹ /(п + 1). Аналогичным образом берутся и интегралы вида arctg x dx.

Пример 9. dx.

Решение. В этом случае и = х, e^хdx = dv = d(e^x), тогда по формуле (6.2) имеем

Интегралы вида dx, где п > 0 — целое число и k ≠ 0 — любое число, берутся n-кратным интегрированием по частям до исчезновения степени х в подынтегральной функции; при этом каждый раз под знак d вносится е^kx, т.е. e^kxdx = dv = d(е^kx).

Ррешение. Интегралы вида cos kx dx и sin kx dx, где k — любое число и п > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функ­ция, и процедура интегрирования по частям повторяется n раз:

cos kx dx = dv = d (sin kx), затем sin kx dx = -d(cos kx) и т.д.

В данном случае мы имеем

Введем понятие рациональной функции от двух перемен­ных. Это функция, полученная из переменных и и v путем про­ведения над ними арифметических операций. Например, функ­ция

является рациональной от переменных u и v. В свою очередь переменные и и v также могут являться функциями. Например,