Дифференцирование сложной функции

Таблица производных простейших элементарных функций

Правила дифференцирования суммы, произведения и частного

Приведем без доказательства одну из основных теорем диф­ференциального исчисления.

ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ≠ 0) также дифференци­руемы в этой точке, причем справедливы следующие форму­лы:

Производные всех простейших элементарно функций мо­жно свести в следующую таблицу.

1. (С)' = 0, где С — постоянное число.

2. (x^α)' = αx^α-1; в частности, = - , ()' = .

3. (log_ax)' = log_ae; в частности, (ln x)' = .

4. (а^x)' = a^x ln а; в частности, (е^x)' = е^x.

5.(sin x)' = cos x.

6. (cos x)’= -sin x.

7.(tg x)' = .

8. (ctg x)' = - .

9. (arcsin х)' = .

10. (arccos x)' = - .

11. (arctg x)' = .

12. (arcctg x)' = - .

Формулы, приведенные в таблице, вместе с правилами диф­ференцирования (теорема 4.2) являются основными формула­ми дифференциального исчисления. Отсюда можно сделать важный вывод: поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция, то операция диф­ференцирования не выводит из класса элементарных функций.

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t₀, а функция у = f(x) имеет производную в соответ­ствующей точке x₀ = φ(t₀). Тогда сложная функция f[φ(t)] имеет производную в точке t₀ u справедлива следующая фор­мула:

В теореме 4.3 рассмотрена суперпозиция двух функций, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость с двумя и более промежуточны­ми переменными, однако правило дифференцирования сложной функции остается тем же. Например, если у = у(х), х = φ(и), и = ψ(t), то производная y'(t) вычисляется по формуле

Рассмотрим несколько примеров на дифференцирование сложной функции.

Пример 1. Найти производную функции у = tg (x³).

Решение. Эту функцию можно представить через проме­жуточную переменную и как y = tg u, и = х³. Тогда по фор­муле (4.7) имеем

Пример 2. Найти производную функции у = .

Решение. Здесь функция представляется с помощью трех промежуточных переменных: у = е^u, и = v², v = tg w, w = 4x. Применяя правило (4.7) дифференцирования сложной функ­ции, последовательно получаем

Пример 3. Найти угол наклона к оси Оx касательной к гра­фику функции

Решение. Данная функция является суммой двух сложных функций, представляемых через промежуточные переменные как

Применяя правила дифференцирования суммы функций и сложных функций, получаем

Поскольку тангенс угла наклона касательной к оси Ох при х = 0 равен значению производной в этой точке, из последнего равенства получаем, подставляя в него х = 0:

откуда φ = arctg 1 = 45°.

4.6. Понятие производной n-го порядка

Производная f'(x) функции f(x) сама является функцией аргумента х, и по отношению к ней также можно ставить во­прос о производной. Производная от первой производной некоторой функции у = f(x) называется второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производ­ная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно про­должить. Производные начиная со второй называются произ­водными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у", у'", у⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾, ..., у⁽ⁿ⁾ (для второй и третьей производных соответственно еще и у⁽²⁾ и у⁽³⁾) или вместо у пишут f(x): f"(x), f"(х), ..., f⁽ⁿ⁾(x).

Производная n-го порядка определяется, таким образом, как производная от производной (n — 1)-го порядка: y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))'

Рассмотрим несколько примеров на вычисление производ­ных высших порядков.

Пример 1. Найти производную второго порядка от функции у = х³ + 2х.

Решение. Последовательно находим первую производную, а затем и производную от нее:

Пример 2. Найти производную второго порядка от функции .

Решение. Сначала находим первую производную сложной функции:

Затем ищем вторую производную, дифференцируя полученное произведение функций:

Пример 3. Найти производную третьего порядка от функции у = х In х.

Решение. Последовательно находим

Пример 4. Найти производную n-го порядка от функции y = e^2x.

Решение: Находим

т.е. каждое дифференцирование прибавляет к исходной функ­ции сомножитель 2. Отсюда получаем

В заключение укажем формулы для вычисления производ­ных n-го порядка для функций sin х и cos х. Нетрудно убедить­ся, что