Понятие сложной функции

Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция z = φ(x) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция у = f(z), то функция у = f[φ(x)] называ­ется сложной функцией от x (или суперпозицией функций), а переменная z — промежуточной переменной сложной функции.

Приведем примеры сложных функций.

Пример 1.у = cos —сложная функция, определенная на полубесконечном интервале (—,1], так как у = f(z) = cos z, z = φ(x) = .

Пример 2. у = — сложная функция, определенная на всей числовой прямой, поскольку у = f(z) = еz , z = φ(x) = —х2.

Пример 3. у= — сложная функция, определенная на полубесконечных интервалах (-,0) и (0, + ), так как y = f(z) = z3/2, z = φ(x) = (1 + x) / x.

ТЕОРЕМА 8. Пусть функция z = φ(x) непрерывна в точке x0, а функция у = f(z) непрерывна в точке z0 = φ(x0). Тогда сложная функция у = f[φ{x)] непрерывна в точке x0 = 0.

Пример 4. Функция y = tg (x2 + 2x) непрерывна в точке x = 0, так как функция z = х2 + х непрерывна в точке х = 0, а функ­ция у = tg z непрерывна в точке z = 0.