Понятие непрерывности функции
Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а.
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Так как 
x = а, то это равенство можно переписать в следующей форме:
Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке а, если правый (левый) предел этой функции в точке а равен значению функции в этой точке.
Символическая запись непрерывности функции справа (слева):
Если функция f(x) непрерывна в точке а слева и справа, то она непрерывна в этой точке.
Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Рассмотрим пример точек, в которых функция не является непрерывной.
Пример 1. Функция f(x) = sign x (п. 3.1). Как было показано ранее, в точке х = 0 существуют левый и правый пределы этой функции, равные соответственно —1 и +1. Сама же точка х = 0 является точкой разрыва функции, поскольку пределы слева и справа не равны значению f(0) = 0.
Действия над непрерывными в точке функциями определяет следующая фундаментальная теорема.
ТЕОРЕМА 7. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в точке а (частное при условии g(a) ≠ 0).