Теоремы о пределах функций

Арифметические операции над функциями, имеющими пре­дел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) имеют в точке а пределы А и В. Тогда функции f(x) ± g{x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при В ≠ 0) имеют в точке а пределы, равные соответ­ственно А± В, А В и А/В.

ТЕОРЕМА 3. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а за исключением, быть мо­жет, самой точки а, и функции f(x) и g(х), имеют в этой точке предел, равный А:Кроме того, пусть выполнены неравенства f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Тогда

Заметим, что теоремы 3.2 и 3.3 справедливы и в случае, когда а является , +или -.

Часто встречаются случаи, когда непосредственно приме­нить теорему о пределе частного нельзя. Это так называемые неопределенности вида или . Далее будет рассмотрен метод раскрытия этих неопределенностей, связанный с диф­ференцированием. Однако зачастую решение связано с более простыми методами: разложением числителя и знаменателя на сомножители, делением числителя и знаменателя на степеньx и т.д. Рассмотрим это на примерах.

Пример 1. Найти предел .

Решение. Нетрудно видеть, что непосредственная подста­новка предельного значения x = 2 в дробь под знаком предела приводит к неопределенности вида . Разложим квадратные трехчлены числителя и знаменателя на сомножители и сокра­тим общий сомножитель, после чего уже подставим предельное значение х = 2:

Пример 2. Найти предел .

Решение. В задачах такого типа следует разделить чис­литель и знаменатель на старшую степень x (в данном случае это просто x) и затем применить теорему 3.2 о переходе к пре­делу в числителе и знаменателе с последующим переходом к пределу слагаемых. Имеем

Пример 3. Найти предел .

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на x³ (это старшая степень x), после чего вос­пользуемся теоремой 3.2:

Поясним также раскрытие неопределенности вида — . Рассмотрим характерный случай.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Здесь следует умножить и разделить выраже­ние под знаком предела на сопряженное выражение — в дан­ном случае на (), после чего воспользоваться приемом деления числителя и знаменателя на старшую степень x, в данном случае — на . Имеем