Примеры расчета

Расчет элементов на косое внецентренное сжатие

3.66 .Для элементов прямоугольного сечения с симметричной арматурой в виде 4-х угловых стержней расчет на косое внецентренное сжатие можно производить из условия

( 3.129)

где М_х и М_у - моменты от внешней нагрузки относительно центра тяжести сечения в плоскостях симметрии х и у;

и - предельные моменты в плоскостях симметрии х и у

относительно центра сечения, равные правой части условия ( 3.91) п.3.56.

Значения и можно также определять с помощью графика на черт.3.28 по формуле

(3.130)

где a _т определяется по графику на черт.3.28 в зависимости от и .

b и h_o - ширина и рабочая высота сечения применительно к направлению рассматриваемого момента;

при этом для соответствующего направления должно выполняться условие а' ≤ 0,15 h_o .

Показатель степени к в условии ( 3.129) определяется по формулам:

если a_n ≤ 0,4

(3.131)

если a_n > 0,4,

( 3.132)

но не более 1,6,

где , , .

Прямоугольные сечения с симметричной арматурой

Пример 22 . Дано:колонна среднего этажа рамного каркаса с сечением размерами b = 400 мм, h = 500 мм; а = а' = 40 мм; бетон класса В25 (Е _b = 300000 МПа, R_b = 14,5 МПа); арматура класса А400 ( R_s = R_sc = 355 МПа); площадь ее сечения А _s = А' _s = 1232 мм² (2 Æ 28); продольная сила и изгибающие моменты в опорном сечении: от вертикальных нагрузок: всех N_v = 650 кН, M_v = 140 кН м, постоянных и длительных N_l = 620 кН, М _l = 130 кНм.; от ветровых нагрузок N_h = 50 кН, M_h = 73 кН м; высота этажа l = 6 м.

Требуется проверить прочность опорного сечения колонны.

Расчет. h _о = 500 - 40 = 460 мм. Расчет ведем с учетом влияния прогиба согласно п.3.53. Поскольку рассматриваемое сечение опорное и колонна у этой опоры имеет податливую заделку, принимаем η_v = 1,0. Для вычисления коэффициента η_h принимаем согласно п. 3.55,б расчетную длину колонны равной l_o = 1,2·6 = 7,2 м. При этом l_o / h =7,2/0,5 = 14,4 > 4, т.е. учет прогиба обязателен.

Усилия от всех нагрузок равны М = M_v + M_h = 140 + 73 = 213 кН·м, N = N_v + N_h = 650 + 50 = 700 кН. При этом, т.е. согласно п.3.49 значение момента М не корректируем.

Определяем моменты М₁и М_{1 l}относительно растянутой арматуры соответственно от всех нагрузок и от постоянных и длительных нагрузок

Тогда φ _l = 1 +М_{1 l} /М ₁= 1 + 260,2/360 = 1,72.

Так как , принимаем δ _e = 0,608.

По формуле ( 3.89) определим жесткость D

Отсюда

Расчетный момент с учетом прогиба определяем по формуле( 3.85), принимая М _t = 0,0.

М = M _v η_v + M_h η_h = 140 + 73·1,156 = 224,4 кНм.

Проверяем прочность сечения согласно п.3.56.

(см. табл. 3.2).

Следовательно, х = a_nh _о = 0,262·460 = 120,5 мм.

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 23.Дано :сечение колонны среднего этажа рамного каркаса размером b = 400 мм, h = 400 мм; а = а' = 50 мм; бетон класса В25 ( R_b = 14,5 МПа, Е _b = 3·10⁵ МПа); арматура симметричная класса А400 ( R_s = R_sc = 355 МПа); продольная сила и изгибающие моменты в опорном сечении: от вертикальных нагрузок: всех N_v = 900 кН, M_v = 160 кНм; постоянных и длительных N_l = 800 кН, M_l = 150 кНм; от ветровых нагрузок N_h = 100 кНм, M_h = 110 кНм; высота этажа 4,8 м.

Требуется определить площадь сечения арматуры.

Расчет. h _o = 400 - 50 = 350 мм. В соответствии с п.3.53 принимаем η_v = 1,0, а согласно п.3.55,б расчетную длину колонны принимаем равной l_o = 1,2·4,8 = 5,76 м.

При этом l ₀ / h = 5,76/0,4 = 14,4 > 4, т.е. учитываем прогиб колонны.

Усилия от всех нагрузок равны М = M_v + M_h = 160 + 110 = 270 кНм; N = N_v + N_h = 900 + 100 = 1000 кН. При этом , т.е. значение М не корректируем.

Согласно п.3.54 определяем коэффициент η_h .

φ _l = 1 +М_{1 l} /М ₁= 1 + 270 /420 = 1,64.

Так как , принимаем δ _e = 0,675.

В первом приближении принимаем μ = 0,01,

По формуле ( 3.89) определяем жесткость D :

Отсюда

М = M _v η_v + M_h η_h = 160·1,0 + 110·1,436 = 318 кН·м.

Необходимую площадь сечения арматуры определим согласно п.3.57. Для этого вычислим значения:

Из табл. 3.2 находим ξ_R = 0,531. Так как а _n < ξ_R , А _s = А' _s определим по формуле ( 3.93)

Откуда

Поскольку полученное армирование превышает армирование, принятое при определении D , а момент М _h = 110 кНм составляет значительную долю полного момента М = 270 кНм, значение A_s = 1918 мм² определено с некоторым «запасом», который можно уменьшить, повторив расчет, принимая в формуле ( 3.89) значение μ = 0,024:

М =160·1,0 + 110·1,228 = 295 кН·м.

Принимаем значения А _s = А' _s =1847 мм² (3 Æ 28), что близко к значению А _s использованному при вычислении D .

Пример 24.Дано :колонна нижнего этажа многоэтажного рамного каркаса с сечением размерами b = 400 мм, h = 500 мм; а = а' = 50 мм; бетон класса В25 (Е _b = 3·10⁴ МПа, R_b = 14,5 МПа); арматура класса А400 ( R_s = R_sc = 355 МПа) с площадью сечения A_s = А' _s = 1847 мм² (3 Æ 28); продольные силы и изгибающие моменты в нижнем опорном сечении: от вертикальных нагрузок: всех N_v = 2200 кН, M_v = 250 кНм, от постоянных и длительных нагрузок N_l = 2100 кН, M_l = 230 кНм; от ветровых нагрузок N_h = 0,0, M_h = 53 кНм; высота этажа 6 м.

Требуется проверить прочность нижнего опорного сечения колонны.

Расчет. h_o = h - а = 500 - 50 = 450 мм. Расчет ведем с учетом прогиба колонны согласно п.3.53. Поскольку у рассматриваемого сечения колонна жестко заделана в фундамент, коэффициент η_v определяем по формуле ( 3.86), принимая расчетную длину колонны согласно п. 3.55 а равной l_o = 0,7·6 = 4,2 м.

Жесткость D при определении как коэффициента η_v так и коэффициента η_h вычисляем по формуле ( 3.89) с учетом всех нагрузок. Усилия от всех нагрузок равны М = M_v + М _h = 250 + 53 = 303 кН, N = N_v = 2200 кН. При этом

φ _l = 1 +М_{1 l} /М ₁= 1 + 650 /743 = 1,875.

Так как , принимаем .

Отсюда

Аналогично определим коэффициент η_h принимая расчетную длинусогласно п.3.55,б равной l_o = 1,0·6 = 6 м. Тогда

Расчетный момент с учетом прогиба равен

М = M _v η_v + M_h η_h = 250·1,115 + 53·1,267 = 345,9 кНм.

Проверяем прочность сечения согласно п.3.56.

(см. табл. 3.2).

Следовательно, высоту сжатой зону х определяем с помощьюформулы ( 3.92). Для этого вычисляем

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 25 . Дано:колонна нижнего этажа связевого каркаса с сечением размерами 400x400 мм; а = а' = 50 им; бетон класса В40 (Е _b = 36· 10³ МПа, R_b = 22 МПа); продольная арматура класса А500 ( R_s = 435 МПа, R_sc = 400 МПа); продольные силы и изгибающие моменты в нижнем опорном сечении от вертикальных нагрузок N_v = 6000 кН, М _v = 120 кНм, от постоянных и длительных нагрузок N_l = 5800 кН, M_l = 100 кНм; усилиями от ветровой нагрузки пренебрегаем; высота этажа l = 3,6 м.

Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.

Расчет. h _о = 400 - 50 = 350 мм. Расчет ведем с учетом прогиба колонны согласно п.3.53. Поскольку у рассматриваемого сечения колонна жестко заделана в фундамент, коэффициент η_v определяем по формуле ( 3.85), принимая расчетную длину колонны согласно п.3.55,а, равной l_o = 0,7·3,6 = 2,52 м.

При этом l_o / h = 2,52/0,4 = 6,3 > 4, т.е. учет прогиба обязателен. Определяем по формуле ( 3.89) жесткость D ,учитывая все нагрузки, т.е. М = М _v = 120 кНм и N = N_v = 6000 кН. Эксцентриситет , следовательно, момент не корректируем.

φ _l = 1 +М_{1 l} /М ₁= 1 + 970 /1020 = 1,951.

Так как , принимаем .

В первом приближении принимаем μ = 0,02, тогда

Отсюда

М = M _v η_v = 120·1,2 = 144 кНм .

Необходимую площадь сечения арматуры определим согласно п.3.57.Для этого вычислим значения:

Из табл. 3.2 находим ξ_R = 0,493. Так как a_n > ξ_R , значение A_s = А^' _s определяем по формуле ( 3.94). При этом, поскольку здесь определяющим прочность является сжатая арматура, принимаем R_s = R_sc = 400 МПа. Значение ξ определяем по формуле ( 3.92), вычисляя a_s по формуле ( 3.95) при

т.е. при ξ ₁ = 1,0

Принимаем А _s = А' _s = 4539 мм² (2 Æ 40 + 2 Æ 36).

Пример 26.Дано :колонна среднего этажа связевого каркаса с сечением размерами 400x400 мм; бетон класса В25 ( R_b = 14,5 МПа), продольная арматура класса А400 ( R_s = R_sc = 355 МПа): продольные силы и изгибающие моменты от вертикальных нагрузок в опорном сечении: от всех нагрузок N_v = 2200 кН, M_v =20 кН м, от постоянных и длительных нагрузок N_l = 1980 кН, М _l = 0,0; высота этажа Н = 6 м.

Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.

Расчет. Поскольку колонна закреплена с обоих концов шарнирно опертыми ригелями, принимаем согласно п.3.59,арасчетную длину колонны равной l_o = Н = 6 м. Тогда l_o / h = 6/0,4 = 15 > 4, т.е. учет прогиба колонны обязателен.

Эксцентриситет продольной силы от всех нагрузок равен . Поскольку , согласно п.3.49 случайный эксцентриситет принимаем равным е_а= 13,3 мм > е _o . Следовательно, расчет колонны производим на действие продольной силы с эксцентриситетом е _o = е_а согласно п.3.58.

Из табл. 3.5 и 3.6 при N_l / N = 1980/2200 = 0,9, предполагая отсутствие промежуточных стержней при а = а' < 0,15 h находим φ _b = 0,804 и φ _sb = 0,867.

Принимая в первом приближении φ = φ _sb = 0,867, из условия ( 3.97) находим

Отсюда

Поскольку а _s < 0,5, уточняем значение φ, вычислив его по формуле ( 3.98):

φ = φ _b + 2 (φ _sb - φ _b )a_s = 0,804 + 2(0,867 - 0,804)0,094 = 0,816.

Аналогично определяем

Полученное значение R_sA_{s , tot} существенно превышает принятое в первом приближении, поэтому еще раз уточняем значение φ :

φ = 0,804 + 2(0,867-0,804)0,162 = 0,824;

Поскольку полученное значение R_sA_{s , tot} близко к принятому во втором приближении, суммарную площадь сечения арматуры принимаем равной

Окончательно принимаем A_{s , tot} = 1018 мм² (4 Æ 18).

Прямоугольные сечения с несимметричной арматурой

Пример 27 . Дано:колонна с податливыми заделками по концам сечения с размерами b = 400 мм, h = 500 мм; а = а' = 40 мм; бетон класса В25 ( R_b = 14,5 МПа), арматура класса А400 ( R_s = R_sc = 355 МПа); усилия в опорном сечении от вертикальных нагрузок: продольная сила N = 800 кНм; момент М = 400 кНм; усилия от ветровых нагрузок отсутствуют.

Требуется определить площадь сечения арматуры S и S '.

Расчет. h_o = 500 - 40 = 460 мм. Поскольку момент от ветровой нагрузки отсутствует, а согласно п.3.53 η _v = 1,0, влияние прогибаэлемента на момент отсутствует. Тогда

Требуемую площадь сечения арматуры S ' и S определяем по формулам ( 3.102) и ( 3.103), принимая из табл. 3.2 a_R = 0,39, ξ _R = 0,531:

Поскольку оба значения превышают нуль, их не уточняем. Принимаем A ^' _s = 628 мм² (2 Æ 20), A_s = 2413 мм² (3 Æ 32).