Примеры расчета

Расчет наклонных сечений на действие поперечных сил

Пример 12.Дано : ребро ТТ-образной плиты перекрытия с размерами сечения: h = 350 мм, d = 85 мм; а = 35 мм; бетон класса В15 ( Rb = 8,5 МПа, Rbt =0,75 МПа); ребро армировано плоским каркасом с поперечными стержнями из арматуры класса А400 ( Rsw = 285 МПа) диаметром 8 мм ( Asw = 50,3 мм2) шагом sw - 100 мм; полная равномерно распределенная нагрузка, действующая на ребро, q = 21,9 кН/м; временная эквивалентная нагрузка qv = 18 кН/м; поперечная сила на опоре Qmax = 62 кН.

Требуется проверить прочность наклонных сечений и бетонной полосы между наклонными сечениями.

Расчет . ho = h - a = 350-35 = 315 мм .

Прочность бетонной полосы проверим из условия ( 3.43):

0,3 Rbbh 0 = 0,3·8,5·85·315 = 68276 Н > Qmax = 62 кН, т.е. прочность полосы обеспечена.

Прочность наклонного сечения по поперечной силе проверим согласно п. 3.31.

По формуле ( 3.48) определим интенсивность хомутов

Поскольку , т.е. условие ( 3.49) выполнено, хомуты полностью учитываем и значение М b определяем по формуле ( 3.46)

М b = 1,5 Rbtbh02 = 1,5·0,75·85·3152 = 9,488·106 Н·мм.

Согласно п.3.32 определим длину проекции невыгоднейшего наклонного сечения с.

q1 = q - qv/2 = 21,9 - 18/2 = 12,9 кН/м (Н/мм).

Поскольку , значение с определяем по формуле

Принимаем c o = c = 280,7 мм. Тогда

Qsw = 0,75 qswco = 0,75·143,3·280,7 = 30168 Н = 30,17 кН.

Q = Q maxq1 c = 62 - 12,9·0,28 = 58,4 кН.

Проверяем условие (3.44)

Qb + Qsw = 33,8 + 30,17 = 63,97 Н > Q = 58,4 кН,

т.е. прочность наклонных сечений обеспечена.

Проверим требование п.3.35:

т.е. требование выполнено. Условия п.5.21 sw < hо /2= 315/2 = 157 мм и sw < 300 мм также выполнены.

Пример 13 . Дано:свободно опертая балка перекрытия с размерами сечения: b = 200 мм, h = 400 мм; ho = 370 мм; бетон класса В25 ( Rbt = 1,05 МПа); хомуты двухветвевые диаметром 8 мм ( Asw = 101мм2) с шагом sw = 150 мм; арматура класса А240 ( Rsw = 170 МПа); временная эквивалентная по моменту нагрузка qv = 36 кН/м, постоянная нагрузка qg = 14 кН/м; поперечная сила на опоре Qmax = 137,5 кН.

Требуется проверить прочность наклонных сечений.

Расчет . Прочность наклонных сечений проверяем согласно п. 3.31. По формуле ( 3.48) определим интенсивность хомутов

Поскольку , т.е. условие ( 3.49) выполняется, хомуты учитываем полностью и значение М b определяем по формуле ( 3.46)

М b = 1,5 Rbtbhо2 = 1,5·1,05·200·3702 = 4,312·107 Н·мм.

Согласно п.3.32 определяем длину проекции невыгоднейшего наклонного сечения:

q1 = qg + 0,5 qv = 14 + 0,5·36 = 32 кН/м (Н/мм).

Поскольку

значение с принимаем равным 1161 мм > 2 h 0 = 740 мм. Тогда с o = 2 h 0 = 740 мм и Qsw = 0,75 q sw c o = 0,75· 114,5· 740 = 63548 Н = 63,55 кН;

Q = Q maxq1 c = 137,5 - 32·1,161 = 100,35 кН.

Проверяем условие (3.44)

Qb + Qsw = 37,14 + 63,55 = 100,69 кН > Q = 100,35 кН,

т.е. прочность наклонных сечений обеспечена.

Пример 14.Дано :свободно опертая балка перекрытия пролетом l = 5,5 м; полная равномерно распределенная нагрузка на балку q = 50 кН/м; временная эквивалентная нагрузка qv = 36 кН/м; размеры поперечного сечения b = 200 мм, h = 400 мм; ho = 370 мм; бетон класса В15 ( Rbt = 0,75 МПа); хомуты из арматуры класса А240 ( Rsw =170 МПа).

Требуется определить диаметр и шаг хомутов у опоры, а также выяснить, на каком расстоянии и как может быть увеличен шаг хомутов.

Расчет. Наибольшая поперечная сила в опорном сечении равна

Определим требуемую интенсивность хомутов приопорного участка согласно п.3.33,б.

По формуле ( 3.46 ) определяем М b

М b = 1,5 Rbtbh02 = 1,5·0,75·200·3702 = 30,8·106 Н·мм.

Согласно п.3.32

q1 = q - 0,5 qvt = 50 - 0,5·36 = 32 кН/м (Н/мм).

Так как 2М b / ho - Qmax = 2· 30,8· 106/370 - 137500 = 28986 Н < Q b 1 = 62790 H , интенсивность хомутов определяем по формуле ( 3.52)

Согласно п.5.21 шаг хомутов sw у опоры должен быть не более ho / 2= 185 и 300 мм, а в пролете - 0,75 ho = 271 и 500 мм. Максимально допустимый шаг у опоры согласно п.3.35 равен

Принимаем шаг хомутов у опоры sw 1 = 150 мм, а в пролете 250 мм. Отсюда

Принимаем в поперечном сечении два хомута по 10 мм ( Asw = 157 мм2).

Таким образом, принятная интенсивность хомутов у опоры и в пролете соответственно равны:

Проверим условие ( 3.49 ):

0,25 Rbtb = 0,25·0,75·200 = 37,5 Н/мм < qsw1и 37,5 < qsw2

Следовательно, значения qsw1и qsw2не корректируем.

Определим, согласно п.3.34 длину участка l 1с интенсивностью хомутов qsw1 .Так как Δ qsw = 0,75( qsw1 - qsw2 ) = 0,75(177,9 - 106,7) = 53,4 Н/мм > q1 = 32 Н/мм, значение l 1 вычислим по формуле ( 3.59), приняв Qb. min = 0,5 Rbtbho = 0,5· 55500 = 27750 Н

Принимаем длину участка с шагом хомутов sw1= 150 мм равной 0,9 м.

Пример 15.Дано :балка покрытия, нагруженная сосредоточенными силами как показано на черт.3.22,а; размеры сечения - по черт.3.22,б; бетон класса В15 ( Rbt = 0,75 МПа); хомуты из арматуры класса А240 ( Rsw = 170 МПа).

Требуется определить диаметр и шаг хомутов, а также выяснить, на каком расстоянии от опоры и как может быть увеличен шаг хомутов.

 

Черт.3.22 . К примеру расчета 15

Расчет. ho = 890 - 80 = 810 мм.

Определим требуемую интенсивность хомутов qsw согласно п.3.33,а, принимая длину проекции сечения с, равной расстоянию от опоры до первого груза – c 1= 1350 мм. Тогда a 1 = c 1 / ho = 1350/810 = 1,667 < 2, и, следовательно, a 01 = a 1 = 1,667.

Определяем

Согласно черт.3.22 поперечная сила на расстоянии с1 от опоры равна Q 1= 105,2 кН. Тогда и, следовательно, qsw определяем по формуле ( 3.51):

Определим qsw при значении с,равном расстоянию от опорыдо второго груза - с2= 2850 мм:

a 2 = c 2 / ho = 2850/810 = 3,52 > 3; принимаем a 2 = 3,0.

Поскольку a 2 > 2, принимаем a 02 = 2,0.

Соответствующая поперечная сила равна Q 2=58,1 кН. Тогда


и, следовательно,

Принимаем максимальное значение qsw = qsw 1 = 60,7. Из условия сварки принимаем диаметр хомутов 8 мм ( Asw = 50,3 мм2). Тогда максимально допустимый шаг хомутов на приопорном участке равен

Принимаем sw 1 =100 мм. Назначаем шаг хомутов в пролете равным sw 2 = 300 мм. Тогда интенсивность хомутов приопорного участка

а пролетного участка

Зададим длину участка с шагом хомутов sw 1 ,равной расстоянию от опоры до первого груза – l 1 = 1350 мм, и проверим условие ( 3.44) при значении с, равном расстоянию от опоры до второго груза - с = 2850 мм. Но поскольку 3 ho = 3·810 = 2430 мм < с, принимаем с = 2430мм. Значение Qsw определяем согласно п.3.34 .

Так как 2 ho + l 1= 2·810 + 1350 = 2970 мм > с, значение Qsw определяем по формуле ( 3.56). При этом, поскольку с > 2 ho , со = 2 ho = 1620 мм.

Qsw = 0,75[ qsw 1co- ( qsw 1 - qsw 2)(c - l 1)] = 0,75[85,5·1620 - (85,5 -28,5)(2430 -1350)] =

57712 Н = 57,7 кН.

При с =3 ho , Qb = Qb . min = 0,5 Rbtbh о = 0,53· 0,75· 80· 810 = 24300 H = 24,3 кН.

Поперечная сила на расстоянии с = 2430 мм от опоры ( черт.3.22) равна

Проверяем условие ( 3.44)

Qb + Qsw = 24,3 + 57,7 = 82,0 кН > Q = 59,5 кН,

т.е. прочность этого наклонного сечения обеспечена.

Большее значение с не рассматриваем, поскольку при этом поперечная сила резко уменьшается.

Таким образом, длину участка с шагом хомутов sw l= 100 мм принимаем равной 1,35 м.

Пример 16 . Дано: двухскатная балка пролетом 8,8 м ( черт.3.23,а); сплошная равномерно распределенная нагрузка на балку q = 46 кН/м; размеры опорного сечения по черт.3.23,б; бетон класса В20 ( Rbt = 0,9МПа); хомуты из арматуры класса А400 ( Rsw = 285 МПа) диаметром 10 мм ( Asw = 78,5 мм2) шагом sw = 100 мм.

Требуется проверить прочность наклонного сечения по поперечной силе.

Расчет. Рабочая высота опорного сечения равна ho = 600 - 40 = 560 мм (см. черт.3.23,б). По формуле ( 3.48) определим интенсивность хомутов

 

Черт.3.23 . К примеру расчета 16

Определим проекцию невыгоднейшего наклонного сечения с согласно п.3.37. Из черт.3.23,а имеем tg β = 1/12, b = 100 мм,

Rbt b = 0,9· 100 = 90 Н/мм; 1 - 2 tg β = 1 - 2 / 12 = 0,833.

Поскольку qsw / ( Rbtb ) = 223,7/90 = 2,485 > 2(1 - 2 tg β )2 = 2· 0,8332 = 1,389, значение с вычисляем по формуле ( 3.62).

Рабочая высота поперечного сечения ho на расстоянии с = 444 мм от опоры равна

ho = ho 1 + с· tg β = 560 + 444/12 = 597 мм.

Поскольку с = 444 мм < 2 h o , с o = с = 444 мм;

Проверим условие ( 3.44), принимая поперечную силу в конце наклонного сечения равной

Q = Qmax – q1 c=(46·8,8)/2 - 46·0,444 = 182,0 кН:

Qb + Qsw = 108,4 + 74,5 = 182,9 кН > Q = 182 кН,

т.е. прочность наклонных сечений по поперечной силе

обеспечена.

Пример 17.Дано :консоль размерами по черт.3.24, сосредоточенная сила на консоли F = 130 кН, расположенная на расстоянии l 1= 0,8 м от опоры; бетон класса В15 ( Rbt = 0,75 МПа); хомуты двухветвевые диаметром 8 мм ( Asw = 101 мм2) из арматуры класса А240 ( Rsw = 170 МПа) шагом sw = 200 мм.

 

Черт.3.24 .К примеру расчет 17

Требуется проверить прочность наклонных сечений по поперечной силе.

Расчет. Согласно п.3.38 проверяем из условия ( 3.44 ) невыгоднейшее наклонное сечение, начинающееся от места приложения сосредоточенной силы, при значении с, определенном по формуле ( 3.62) при q 1= 0 и .

Рабочая высота в месте приложения сосредоточенной силы равна (см. черт.3.24); Rbtb = 0,75· 200 = 150Н/мм.

Значение qsw равно

Поскольку , оставляем с = 469,4 мм .

Определим рабочую высоту h oв конце наклонного сечения

h0 = h0 l + с· tgβ = 305 + 469·0,369 = 478 мм.

Поскольку с = 469,4 > 2 ho , с o = с = 469 мм.

;

Qb + Qsw = 109,6 + 30,2 = 139,8 кН > F = 130 кН,

т.е. прочность наклонных сечений по поперечной силе обеспечена.

Пример 18 . Дано: сплошная плита днища резервуара без поперечной арматуры размером 3x6 м толщиной h = 160 мм, монолитно связанная по периметру с балками; полная равномерно распределенная нагрузка 50 кН/м2; бетон класса В15 ( Rbt =0,75 МПа).

Требуется проверить прочность плиты на действие поперечной силы.

Расчет . ho = 160 - 20 = 140 мм. Расчет проводим для полосы шириной b = 1,0 м = 1000 мм, пролетом l = 3 м. Тогда q = 50·1,0 = 50 кН/м, а поперечная сила на опоре равна

Проверим условие ( 3.64)

2,5 Rbtbh0 = 2,5·0,75·1000·140 = 262500 Н > Qmax = 75 кН.

Проверим условие ( 3.66), принимая q 1= q - 50 кН/м (Н/мм). Поскольку боковые края плиты монолитно связаны с балками, условие ( 3.66) имеет вид

следовательно, прочность плиты проверяем из условия ( 3.67а)

0,625 Rbtbhо + 2 hо q1= 0,625·0,75·1000·140 + 2,4·140·50 = 82425 Н =

82,4 кН > Qmax = 75 кН,

т.е. прочность плиты по поперечной силе обеспечена.

Пример 19 . Дано:панель стенки резервуара консольного типа с переменной толщиной от 262 (в заделке) до 120 мм (на свободном конце) вылетом 4,25 м; боковое давление грунта, учитывающее нагрузку от транспортных средств на поверхности грунта, линейно убывает от q o= 55 кН/м2 в заделке до q = 6 кН/м2 на свободном конце; а = 22 мм; бетон класса В15 ( Rbt = 0,75 МПа).

Требуется проверить прочность панели на действие поперечной силы.

Расчет. Рабочая высота сечения панели в заделке равна ho 1 = 262-22 = 240 мм.

Определим tgβ ( β - угол между растянутой и сжатой гранями):

tgβ =(262-120)/4250 = 0,0334.

Проверим условия п.3.41. Поперечная сила в заделке равна

Qmax =((55+6)/2)·4,25 = 129,6 кН.

Расчет производим для полосы панели шириной b = 1,0 м = 1000 мм.

Проверим условие ( 3.64), принимая ho = ho 1 = 240 мм.

2,5 Rbtbhо = 2,5·0,75·1000·240 = 450000 Н = 450 кН > Qmax

т.е. условие выполняется.

Поскольку панели связаны друг с другом, а ширина стенки резервуара заведомо больше 5 h , значение cmax определяем по формуле

Средняя интенсивность нагрузки на приопорном участке длиной cmax = 554 мм равна

Поскольку

принимаем с = cmax = 554мм.

Определим рабочую высоту сечения на расстоянии с/2от опоры (т.е. среднее значение h oв пределах длины с):

.

Поперечная сила на расстоянии с = 554 мм от опоры равна:

Q = Qmax – q1 c= 129,6 - 51,8·0,554 = 100,9 кН.

Проверим условие ( 3.65):

т.е. прочность панели по поперечной силе обеспечена.

Расчет наклонных сечений на действие момента

Пример 20.Дано: свободно опертая балка пролетом l = 5,5м с равномерно распределенной нагрузкой q = 29 кН/м; конструкция приопорного участка балки принята по черт.3.25; бетон класса В15 ( Rb = 8,5 МПа); продольная арматура без анкеров класса А400 ( Rs = 355 МПа) площадью сечения As = 982 мм2 (2 Æ 25); хомуты из арматуры класса А240 ( Rsw =170 МПа) диаметром 8 мм шагом sw = 150 мм приварены к продольным стержням.

Требуется проверить прочность наклонных сечений на действие момента.

Расчет. h o = h - а = 400 - 40 = 360 мм. Поскольку растянутая арматура не имеет анкеров, расчет наклонных сечений на действие момента необходим.

Определим усилие в растянутой арматуре по формуле ( 3.73).

Принимаем начало наклонного сечения у грани опоры. Отсюда ls = ls up - 10 мм = 280 - 10 = 270 мм (см. черт.3.25).

Опорная реакция балки равна

а площадь опирания балки As up = bls up = 200· 280 = 56000 мм2,

откуда ,

следовательно, а = 1,0. Из табл.3.3 при классе бетона В15, классе арматуры А400 и а = 1,0 находим λ an = 47. Тогда, длина анкеровки равна lan = λ an ds = 47· 25 = 1175 мм.

Ns = RsAs (ls/lan) = 355·982·(270/1175) = 80106 Н .

 

Черт.3.25 . К примеру расчета 20

Поскольку к растянутым стержням в пределах длины ls приварены 4 вертикальных и 2 горизонтальных поперечных стержня (см. черт.3.25), увеличим усилия Ns на величину Nw .

Принимая dw = 8 мм, nw = 6, φw = 150 (см. табл.3.4), получаем

Nw = 0,7 nw φw dw 2 Rbt = 0,7·6·1502·0,75 = 30,24·103 Н.

Отсюда Ns = 80106 + 30240 = 110346 Н.

Определяем максимально допустимое значение Ns .Из табл.3.3 при а = 0,7 находим λ an = 33; тогда , т.е. оставляем Ns = 110346 Н. Определим плечо внутренней пары сил

Тогда момент, воспринимаемый продольной арматурой, равен

Ms = Nszs = 110346·327,5 = 36,1·106 Нмм .

По формуле ( 3.48) вычислим величину qsw

Определяем длину проекции невыгоднейшего наклонного сечения по формуле ( 3.76), принимая значение Qmax равным опорной реакции балки, т.е. Qmax = Fsup = 80 кН.

Тогда момент, воспринимаемый поперечной арматуры, равен

Msw =0,5 qswc2= 0,5·114,5·557,52 = 17,8·106 Н мм.

Момент в наклонном сечении определяем как момент в нормальном сечении, расположенном в конце наклонного сечения, т.е. на расстоянии от точки приложения опорной реакции, равной x = lsup /3 + с = 280/3 + 557,5 = 650,8 мм

.

Проверяем условие ( 3.69)

Ms + М sw = 36,1 + 17,8 = 53,9 кНм >М = 45,9 кНм,

т.е. прочность наклонных сечений по изгибающему моменту обеспечена.

Пример 21 . Дано:ригель многоэтажной рамы с эпюрами моментов и поперечных сил от равномерно распределенной нагрузки q = 228 кН/м по черт.3.26; бетон класса В25; продольная и поперечная арматура класса А400 ( Rs = 355 МПа, Rsw = 285 МПа); поперечное сечение приопорного участка - по черт.3.26; хомуты трехветвевые диаметром 10 мм ( Rsw =236 мм2) шагом sw равным 150 мм.

Требуется определить расстояние от левой опоры до места обрыва первого стержня верхней арматуры.

Расчет. Из черт.3.26 имеем: ho = h - a = 800 - 60 = 740 мм; а -50 мм; площадь сечения верхней растянутой арматуры без учета одного обрываемого стержня Æ 32 As = 1609 мм2 (2 Æ 32); As = 2413 мм2 (3 Æ 32). Определим предельный момент, соответствующий этой арматуре по формуле ( 3.19), поскольку As < A ' s , т.е. х < 0:

Mult = RsAs(ho – а ' ) = 355·1609·(740 - 50) = 394,1·106 Н мм = 394,1 кНм .

По эпюре моментов определяем расстояние от опоры до места теоретического обрыва первого стержня из уравнения

откуда ,где

Поперечная сила в месте теоретического обрыва равна

Q = Qmax - q· x = 620 - 228·0,355 = 539 кН.

Определим величину qsw ,

Поскольку м, длину w , на которую надо завести обрываемый стержень за точку теоретического обрыва, определяем по формуле ( 3.79)

.