Колебания с n степенями свободы. Дисперсионное уравнение. Примеры 1-3.

, где - -мерный вектор.

В точке - экстремум(минимум):

- условие минимума, оно понимается в смысле квадратичных форм, т.е. если умножить на вектор слева и на вектор справа, то образуется положительная скалярная величина:

, для

, где

Тогда функция Лагранжа имеет вид:

она описывает малые свободные гармонические колебания.

Уравнение движения для данной системы:

Аналогично можно получить:

Подставим полученные формулы в уравнение движения, тогда получим:

- система линейных однородных дифференциальных уравнений.

Эта система имеет нетривиальное решение, если:

=> характеристическое уравнение

Это матрицы с действительными коэффициентами.

имеет решений ,

, где - номер корня.

умножим это выражение на и просуммируем:

,

Получаем:

-матричное уравнение

пусть :

,

т.к. , тогда:

Из определения матриц и следует, что

Можно показать, что - вещественные числа, тогда

т.е. матрицы симметричные, значит:

(23.1)

Запишем два матричных уравнения:

Вычтем из первого уравнения второе.

Воспользуемся свойством (23.1) и сложим два этих уравнения:

т.к. корни различны, то при получаем .

Если , то , но она неопределённая. Эта неопределённость исключается нормировкой:

Эта нормировка позволяет найти неопределённый параметр для всех корней.

Таким образом:

Рассмотрим матрицу :

тогда:

, где

-диагональная матрица.

Тогда - преобразование с помощью которого переводится в единичную, а диагонализируется.

, где

Тогда:

Переменные - нормальные координаты, или главные колебания. Это простейшая форма колебаний.

- комплексная константа.

и находятся из начальных условий:

, и , т.е. - единичная матрица.

для того чтобы получить единицу перед надо левую и правую часть умножить на :

Для компоненты :

Начальные условия:

Схема решения задач:

1. Составить дисперсионное уравнение.

2. решаем, находим корни(собственные частоты)

3. находим решения для нормальных координат

4. из решения уравнений находим коэффициент :

характеристическое уравнение

дисперсионное уравнение

находим матрицу, искомый коэффициент.

5. зная и находим и

6. через 3. находим

7. находим

Примеры:

1. Рассмотрим колебательный LC-контур

,

- функция Лагранжа для данной системы.

2. Рассмотрим контур

- энергия, связанная с наличием индуктивности в системе,

Энергия, связанная с конденсатором ,

- емкости

- электростатическая индукция

Задачу эту необходимо упрощать.

3. Рассмотрим задачу:

Свободные колебания двухатомной молекулы.

- коэффициент взаимодействия.

здесь - удлинение по сравнению с равновесным состоянием пружины.

, - координаты точек в отсутствии деформации пружины.

, - координаты точек в деформированном состоянии

Можем найти потенциальную энергию.

Вводим переменные и

Найдём и :

и

1. Составим дисперсионное уравнение:

Решая его получим два корня:

и

2. Напишем дифференциальные уравнения для нормальных колебаний:

- здесь колебаний нет, т.к.

, где

3. Найдём матрицу .

Используем уравнения:

Пусть , тогда:

значит .

Аналогично рассуждая для получим:

и из условия нормировки:

, где

тогда:

,

, , но - диагональная, тогда:

Здесь - координата центра масс

Рассуждая аналогично для , получим:

, где

Пусть , , , тогда:

и

, тогда

Подставляя сюда выражения для и получим:

Итак, решение задачи:

§У. 5. Задача 11

1. Определить малые колебания двойного плоского маятника.

.

Уравнения движения:

После подстановки (23,6) :

Корни характеристического уравнения:

Ответ: .

При частоты стремятся к пределам и , соответствуют независимым колебаниям двух маятников.