Интегралы с бесконечными пределами

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Изучая определенный интеграл от функции f (x), мы требовали, чтобы f (x) удовлетворяла следующим условиям:

1) была определена на конечном отрезке [a;b];

2) была непрерывна на отрезке [a;b].

Если нарушено одно из указанных условий, то речь будет идти о несобственных интегралах первого и второго рода.

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+¥) или (-¥;a] или (-¥;+¥).

Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от f (x) на бесконечном промежутке [a;+¥), обозначается и в этом случае говорят, что интеграл сходится. Если не существует или равен ¥, то говорят, что интеграл расходятся.

Аналогично определяются интегралы:

Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл считают расходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

Так как получили конечное число, то интеграл сходится и равен .

Ответ: