Вычисление объема тела вращения

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

Пусть задано объемное тело T , для которого известна площадь S(x) любого сечения плоскостью, проходящей через точку (x;0;0) перпендикулярно оси Ox, a £ x £ b (рис.16).

Рис. 16

Пусть функция S(x) непрерывна на [a;b]. Тогда объем тела T вычисляется по формуле:

.

а) Пусть надо вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой y = f (x), осью Ox и прямыми x=a, x=b.

В таком случае площадь поперечного сечения в т. xÎ [a;b] круг радиусом f(x) равна:

.

Тогда объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox этой криволинейной трапеции, вычисляется по формуле:

.

б) Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой x = j (y), осью Oy и прямыми y = c, y = d,вычисляется по формуле:

.