Замена переменной в определенном интеграле

Пример 2.

Пример 1.

Вычисление определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Задача вычисления определенного интеграла свелась к нахождению первообразной непрерывной функции.

Ответ:

Ответ:

Теорема 5. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = j (t) имеет непрерывную производную j '(t) на отрезке [a;b], область значений этой функции – отрезок [a;b], то есть a £ j (t) £ b для x tÎ [a;b], причем j (a) = a, j (b) = b.

Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство. Так как f (x)непрерывна на [a;b], то существует определенный интеграл и справедлива формула Ньютона-Лейбница:

(1)

где F(x) – одна из первообразных f (x) на [a;b].

Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке [a;b], причем

F'(x) = f (x) для любого xÎ [a;b].

Так как функция x = j (t) непрерывна на [a;b] и множество ее значений совпадает с отрезком [a;b], то сложные функции f(j(t)) и F(j(t)) непрерывны в любой точке t Î [a;b].

Так как j ' (t) непрерывна на [a;b], то функция f(j(t)) × j ' (t) тоже непрерывна на [a;b], а значит существует интеграл:

.

Покажем, что функция F(j(t)) является первообразной для . Действительно, (F(j (t)))'_t = F'(x)× j '(t) = f (x)× j' (t) = f (j (t))× j' (t) для любого t Î [a;b]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона-Лейбница:

(так как j (b) = b и j (a) = a). (2)

Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:

.