Интегрирование по частям.
Пример 12.
Пример 10.
.
Ответ: 
.
Пример 11.
.
Ответ: 
.
.
Ответ: 
.
Пример 13. 
.
Ответ: 
.
Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме:
Теорема 2. Пусть функция U = U(x) и V = V(x) дифференцируемы на некотором интервале (a;b). Пусть на (a;b) функция V(x)×U’(x) имеет первообразную. Тогда на (a;b) функция U(x)×V’(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:
.
Доказательство. По форме дифференцирования:
(U(x)×V(x))’ = U’(x)×V(x) + U(x)×V’(x).
По свойству неопределенного интеграла:
.
Тогда можно записать:
Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:
.
Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подинтегральное выражение на два множителя u(x) и dV(x) так, чтобы интеграл 
оказался легко интегрируемым.
Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям может быть разбита на следующие три группы.
1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
Ln x; arcsin x; arcos x; arctg x; arcctg x; ln2x; lnj(x); arcsin2x;…
при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.
Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.
2) Ко второй группе относятся интегралы вида
, 
,
, 
,
где a,b,a, ,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.
При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям n раз.
3) К третьей группе относятся интегралы вида:
, 
, 
,
, 
, 
,
где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A # 1.
Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.
Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.