Первообразная функция и ее свойства

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство:

F’(x) = f(x).

Пример 1. Функция F’(x) = sinx является первообразной для функции f(x) = cosx на бесконечном промежутке (-¥;+¥), так как

F’(x) = (sinx)’ = cosx = f(x) для x Î (-¥;+¥)

Нетрудно убедиться, что функция F₁(x) = sinx+5 и F₂(x) = sinx-10 также являются первообразными для функции f(x) = cosx на (-¥;+¥). То есть если для функции f(x) на некотором промежутке существует первообразная, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f(x) есть множество, которое задается формулой F(x) + C, где C – любая постоянная величина.

Теорема 1 (об общем виде первообразной).

Пусть F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на интервале (a;b). Тогда любая другая первообразная для f(x) на (a;b) представима в виде

F(x)+C, где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F(x)+C, где С – некоторое число, также является первообразной для f(x) на (a;b).

По условию теоремы F(x) на (a;b) является первообразной для f(x), поэтому выполняется равенство:

F’(x) = f(x) при любом xÎ (a;b).

Так как С – некоторое число, то

(F(x)+С)’ = F’(x)+С’ = F’(x)+0 = f(x).

Отсюда следует: (F(x)+С)’ = f(x) при любом xÎ (a;b), а значит F(x)+С на (a;b) является первообразной для f(x).

Во-вторых, проверим, что если F(x) и Ф(x) – две первообразные для функции f(x) на (a;b), то они различаются между собой на постоянную величину, то есть F(x) – Ф(x) = const.

Обозначим j(x) = F(x) - Ф(x). Ток как по предположению функции F(x) и Ф(x) первообразные на (a;b) для f(x), то выполняются равенства: F’(x) = f(x) и Ф’(x) = f(x) при любом xÎ (a;b). Следовательно, j’(x) = F’(x)-Ф’(x) = f(x)- f(x) = 0 при любом xÎ (a;b).

Функция j(x) непрерывна и дифференцируема при xÎ (a;b). Значит, на любом [x₁;x₂] Ì (a;b) функция j(x) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î (x₁;x₂) для которой выполняется равенство:

j(x₂) - j(x₁) = j’()× (x₂-x₁) = 0×(x₂-x₁) = 0.

Þ j(x2) - j(x1) = 0 Þ j(x2) = j(x1) Þ j(x) = const.

Значит, F(x) – Ф(x) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F(x) для функции f(x) на промежутке (a;b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F(x)+С, где С – постоянная величина. Этот вид первообразных носит название ее общего вида, при этом С –произвольная постоянная величина.