Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции в некоторой окрестности точки x₀ (рис.6):

Рис. 6

из DM₀AN: AN = M₀A×tga = Dx×f '(x₀) = dy

Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной (AN), проведенной к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)), при переходе от x₀ к x₀+Dx (от точки М₀ в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14.Пусть функция y=f(U) дифференцируема в точке u, а функция u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x(u=u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство:

dy = f ' (u)du = y' (x)dx

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой функцией в точке x. Поэтому справедливо равенство:

dy = y' (x)dx

Но так как функция y(x)=f(u(x)) сложная функция, то

y' (x) = f’(u) × u' (x)

Поэтому dy = y'(x)dx = f’(u)×u' (x)dx = f’(u)×du, так как по условию теоремы функция U = U(x) дифференцируема в точке xÞ

du = u' (x)×dx.

Теорема доказана.