Дифференциал функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x, тогда ее приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно Dx, а второе бесконечно малое при Dx®0 более высокого порядка малости по сравнению с Dx:

, где a(Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Определение 4. Слагаемое f’(x)× Dx называется главной линейной относительно Dx частью приращения функции y = f(x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается

dy = y' (x)× Dx .

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство: Dx = dx, так как (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:

dy = y' (x)× dx .

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с Dx, то между приращением функции и ее дифференциалом можно поставить приближенное равенство. Это равенство тем точнее, чем меньше Dx. На основе этого приближенного равенства получается приближенное представление значения дифференцируемой функции:

Пример. Вычислить приближенно

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки возьмем x₀ = 4, приращение Dx = 0,08, .

Подставим в формулу:

, где D<<0,08.